ABC猜想：数论的深层统一与革命性影响

你好，我是qmwneb946，一位热衷于探索数学与技术前沿的博主。今天，我们将一起踏上一段引人入胜的旅程，深入了解一个被称为“ABC猜想”的数论巨石。这个猜想以其看似简洁的表述，却蕴含着连接加法与乘法这两大基本运算的深邃力量，并对整个数论领域产生了革命性的影响。它不仅是现代数论研究的焦点，更被誉为连接许多独立猜想和定理的“万能钥匙”。

引言：数论中的“万能钥匙”

数论，这门古老的数学分支，研究的是整数的性质。在整数王国里，加法和乘法是两大基本操作。我们知道，一个整数可以通过加法（例如 $1+1+1+\dots$）生成，也可以通过乘法（例如 $2 \times 3 \times 5$）分解为素因子。然而，这两者之间的关系远比我们想象的要复杂和深刻。

长期以来，数论中的许多问题似乎独立存在，各自为营。直到20世纪80年代，两位数学家——大卫·马萨（David Masser）和约瑟夫·奥斯特莱（Joseph Oesterlé）——提出了一个看似简单却具有爆炸性影响的猜想，它被称为“ABC猜想”。这个猜想将加法结构 $a+b=c$ 与乘法结构（通过素因子分解）奇妙地联系起来，揭示了整数深层的内在统一性。

ABC猜想之所以如此重要，是因为它一旦被证明，将立刻推导出数论中许多其他著名猜想的成立，包括费马大定理的“几乎”证明、卡塔兰猜想（Catalan’s Conjecture）的简洁证明、莫德尔猜想（Mordell’s Conjecture，即法尔廷斯定理）的另一个视角，以及对椭圆曲线和丢番图方程的深刻洞察。它像是一个深藏不露的万能钥匙，等待着被开启，以解锁一系列数论的奥秘。

今天，我们将从ABC猜想的起源讲起，详细解析它的精确表述，探讨它如何推导出众多著名结论，并深入了解围绕其证明的巨大挑战和当前的研究现状。准备好了吗？让我们一起探索这个数论皇冠上的明珠。

1. ABC猜想的起源与背景

要理解ABC猜想的重要性，我们首先需要回顾数论中加法与乘法研究的背景，以及一些促使ABC猜想萌芽的重要工作。

数论中的加法与乘法

在数论中，我们通常将整数的性质分为两类：

• 加法性质： 关注整数如何通过加法组合。例如，哥德巴赫猜想（任何大于2的偶数都是两个素数之和）和华林问题（任何自然数都可以表示为若干个自然数的 $k$ 次幂之和）。
• 乘法性质： 关注整数的素因子分解。例如，素数分布、黎曼猜想（关于黎曼zeta函数的非平凡零点分布）和素数定理。

尽管两者都研究整数，但它们所用的工具和方法往往大相径庭。例如，解析数论中研究素数分布的技巧与处理加法问题的堆垒素数论（additive number theory）有着显著的区别。ABC猜想的独特之处在于，它试图在一个简洁的框架内同时捕捉到这两种操作的深层相互作用。

历史的萌芽：Roth定理与Szpiro猜想

ABC猜想并非凭空出现，它受到了之前数论研究成果的启发，尤其是那些揭示加法和乘法之间微妙平衡的定理。

1. Roth定理（1955年）：
   由克劳斯·罗斯（Klaus Roth）证明的这个定理，是丢番图逼近领域的一个里程碑。它表明，如果一个代数数 $\alpha$ 可以被有理数 $p/q$ 很好地逼近，那么这种逼近的“好”程度是有限制的。具体来说，对于任何无理代数数 $\alpha$ 和任何 $\epsilon > 0$，只有有限多个有理数 $p/q$ 满足

   $$\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{2+\epsilon}}$$

   Roth定理的证明方法揭示了，当有理数对 $\alpha$ 逼近得越好，其分母 $q$ 的素因子分解（乘法结构）就会越“不寻常”。这暗示了数与其素因子之间存在某种联系，尽管这与ABC猜想的直接表述不同，但其精神内核有共通之处。

2. Szpiro猜想（1980年代初）：
   大卫·马萨和约瑟夫·奥斯特莱受到卢西恩·施皮罗（Lucien Szpiro）在椭圆曲线领域提出的一个猜想的启发。Szpiro猜想涉及椭圆曲线的判别式（一个反映曲线奇点信息的乘法量）与最小判别式（一个反映曲线复杂性的加法量，通常关联到其导体）之间的关系。
   Szpiro猜想的一个简化形式可以这样表述：对于任意给定的 $\epsilon > 0$，存在一个常数 $C(\epsilon)$，使得对所有整数系数的椭圆曲线，其最小判别式 $\Delta_{min}$ 满足

   $$|\Delta_{min}| < C(\epsilon) \cdot N(\Delta_{min})^{6+\epsilon}$$

   其中 $N(\Delta_{min})$ 是判别式的根积（即素因子乘积）。
   马萨和奥斯特莱注意到，这个猜想与一个更一般的整数加法关系 $a+b=c$ 有着惊人的相似之处。他们将椭圆曲线的复杂性“翻译”成了整数 $a, b, c$ 之间的关系，从而孕育出了ABC猜想。他们的洞察在于，对于整数 $a, b, c$ 满足 $a+b=c$，当 $c$ 的大小相对 $a,b,c$ 的素因子乘积（根积）而言特别大时，这种情况是极其罕见的。

正是基于这些前人的工作和深刻的洞察，ABC猜想在20世纪80年代初被正式提出，并迅速成为数论领域最重要、也最具挑战性的未解之谜之一。

2. ABC猜想的精确表述

现在，让我们来仔细剖析ABC猜想的核心内容。它的表述出人意料地简洁，但其蕴含的意义却无比深远。

什么是“根积”（Radical）？

在介绍ABC猜想之前，我们首先需要理解一个关键的定义：“根积”（radical），通常记作 $rad(n)$ 或 $sqf(n)$。

定义： 对于一个正整数 $n > 1$，其根积 $rad(n)$ 定义为 $n$ 的所有不同素因子的乘积。如果 $n=1$，则 $rad(1)=1$。
换句话说，如果我们对 $n$ 进行素因子分解 $n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$，其中 $p_i$ 是不同的素数，$e_i \ge 1$，那么 $rad(n)$ 就是这些不同素数的乘积：

$$rad(n) = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k$$

这个定义非常重要，因为它“忽略”了素因子的指数，只关心哪些素数参与了 $n$ 的构成。

例子：

• $rad(1) = 1$
• $rad(2) = 2$
• $rad(12) = rad(2^2 \cdot 3) = 2 \cdot 3 = 6$
• $rad(72) = rad(2^3 \cdot 3^2) = 2 \cdot 3 = 6$
• $rad(99) = rad(3^2 \cdot 11) = 3 \cdot 11 = 33$
• $rad(100) = rad(2^2 \cdot 5^2) = 2 \cdot 5 = 10$

可以看到，即使两个数的素因子指数不同（如 $12$ 和 $72$），它们的根积也可能相同。根积反映了一个数“素性基础”的大小。

猜想的陈述

ABC猜想的正式表述如下：

ABC猜想：
对于任意给定的实数 $\epsilon > 0$，都只存在有限多个互素（无公因子）的正整数三元组 $(a, b, c)$，满足 $a+b=c$，使得

$$c > rad(abc)^{1+\epsilon}$$

这是一个非常精炼的表述，但其含义非常深刻。让我们来逐字逐句地解读：

1. 互素（coprime）： $a, b, c$ 必须两两互素。这意味着 $\gcd(a, b) = \gcd(b, c) = \gcd(a, c) = 1$。由于 $a+b=c$，如果 $\gcd(a, b) = d > 1$，那么 $d$ 也必须整除 $c$，此时我们可以将整个方程除以 $d$，得到一个更小的互素三元组。因此，要求互素实际上是为了避免平凡的情况。
2. $a+b=c$： 这是猜想的核心加法关系。
3. $rad(abc)$： 这是关键的乘法量。它是 $a, b, c$ 三个数所有不同素因子的乘积。因为 $a, b, c$ 互素，所以 $rad(abc) = rad(a) \cdot rad(b) \cdot rad(c)$。
4. $c > rad(abc)^{1+\epsilon}$： 这是不等式的核心。它表明，对于大多数满足 $a+b=c$ 的互素三元组 $(a, b, c)$， $c$ 不会比 $rad(abc)$ 的某个幂次大太多。具体来说，给定任何一个微小的正数 $\epsilon$，满足 $c > rad(abc)^{1+\epsilon}$ 这种“异常”情况的三元组 $(a,b,c)$ 只能有有限个。

换句话说，ABC猜想断言，绝大多数时候，$c$ 不会比 $rad(abc)$ 的一个稍微大一点的幂次增长得更快。只有少数“特殊”或“异常”的三元组，它们的 $c$ 值相对 $rad(abc)$ 显得异常地大。而猜想的核心是：这些“异常”三元组的数量是有限的。

更常见的，数学家们倾向于表述为：对于任意 $\epsilon > 0$，存在一个常数 $K_\epsilon$，使得对于所有满足 $a+b=c$ 且 $\gcd(a,b)=1$ 的正整数 $a,b,c$ 有：

$$c < K_\epsilon \cdot rad(abc)^{1+\epsilon}$$

这里的 $K_\epsilon$ 是一个只依赖于 $\epsilon$ 的常数。这两种表述是等价的，都强调了 $c$ 与 $rad(abc)$ 的幂次之间的关系。

深入理解：超越平凡的界限

为了更好地理解这个猜想，我们来看几个例子。

例子 1： $a=1, b=8, c=9$

• $a=1, b=2^3, c=3^2$
• $\gcd(1, 8)=1$，$\gcd(8, 9)=1$，$\gcd(1, 9)=1$。它们互素。
• $rad(abc) = rad(1 \cdot 8 \cdot 9) = rad(72) = rad(2^3 \cdot 3^2) = 2 \cdot 3 = 6$
• $c = 9$
• 我们计算比值 $c / rad(abc) = 9/6 = 1.5$。
• 我们还计算 $c / rad(abc)^2 = 9 / 6^2 = 9/36 = 0.25$。
  这里 $c = 9$ 并没有比 $rad(abc)=6$ 大太多，更没有达到 $rad(abc)^{1+\epsilon}$ 中的 $1+\epsilon$ 的幂次，例如 $rad(abc)^2=36$。

例子 2： $a=3, b=125, c=128$

• $a=3, b=5^3, c=2^7$
• 它们互素。
• $rad(abc) = rad(3 \cdot 5^3 \cdot 2^7) = rad(3 \cdot 5 \cdot 2) = 3 \cdot 5 \cdot 2 = 30$
• $c = 128$
• 比值 $c / rad(abc) = 128 / 30 \approx 4.267$
• $c / rad(abc)^{1.1} = 128 / (30^{1.1}) \approx 128 / 41.5 \approx 3.08$
• $c / rad(abc)^2 = 128 / 30^2 = 128 / 900 \approx 0.142$
  这个例子中 $c$ 相对于 $rad(abc)$ 来说比较大，但它仍然远小于 $rad(abc)^2$。

例子 3： 寻找“异常”三元组，即 $c$ 相对 $rad(abc)$ 较大
这通常被称为寻找“ABC hit”或“ABC triple”。一个著名的例子是：

• $a=1, b=2^{10} \cdot 3^{10} \cdot 5^{10} \cdot 7^{10} \cdot \dots$
  这显然不切实际。让我们寻找一个实际的例子：
• $a=1, b=2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11^2 \cdot 13 = 24200832$
• $c=23^5 = 6436343$
  这个例子不是 $a+b=c$ 形式，而是 $c-b=a$。寻找 $a+b=c$ 形式的例子：

最有名的ABC triple 之一：

• $a=1, b=2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17^2 \cdot 19^2 \cdot 23^2 \cdot 29^2 \cdot 31^2 \cdot 37^2 \cdot 41^2 \cdot 43^2 \cdot 47^2 \cdot 53^2 \cdot 59^2 \cdot 61^2 \cdot 67^2 \cdot 71^2 \cdot 73^2 \cdot 79^2 \cdot 83^2 \cdot 89^2 \cdot 97^2 \cdot 101^2 \cdot 103^2 \cdot 107^2 \cdot 109^2 \cdot 113^2 \cdot 127^2 \cdot 131^2 \cdot 137^2 \cdot 139^2 \cdot 149^2 \cdot 151^2 \cdot 157^2 \cdot 163^2 \cdot 167^2 \cdot 173^2 \cdot 179^2 \cdot 181^2 \cdot 191^2 \cdot 193^2 \cdot 197^2 \cdot 199^2 \cdot 211^2 \cdot 223^2 \cdot 227^2 \cdot 229^2 \cdot 233^2 \cdot 239^2 \cdot 241^2 \cdot 251^2 \cdot 257^2 \cdot 263^2 \cdot 269^2 \cdot 271^2 \cdot 277^2 \cdot 281^2 \cdot 283^2 \cdot 293^2 \cdot 307^2 \cdot 311^2 \cdot 313^2 \cdot 317^2 \cdot 331^2 \cdot 337^2 \cdot 347^2 \cdot 349^2 \cdot 353^2 \cdot 359^2 \cdot 367^2 \cdot 373^2 \cdot 379^2 \cdot 383^2 \cdot 389^2 \cdot 397^2 \cdot 401^2 \cdot 409^2 \cdot 419^2 \cdot 421^2 \cdot 431^2 \cdot 433^2 \cdot 439^2 \cdot 443^2 \cdot 449^2 \cdot 457^2 \cdot 461^2 \cdot 463^2 \cdot 467^2 \cdot 479^2 \cdot 487^2 \cdot 491^2 \cdot 499^2 \cdot 503^2 \cdot 509^2 \cdot 521^2 \cdot 523^2 \cdot 541^2 \cdot 547^2 \cdot 557^2 \cdot 563^2 \cdot 569^2 \cdot 571^2 \cdot 577^2 \cdot 587^2 \cdot 593^2 \cdot 599^2 \cdot 601^2 \cdot 607^2 \cdot 613^2 \cdot 617^2 \cdot 619^2 \cdot 631^2 \cdot 641^2 \cdot 643^2 \cdot 647^2 \cdot 653^2 \cdot 659^2 \cdot 661^2 \cdot 673^2 \cdot 677^2 \cdot 683^2 \cdot 691^2 \cdot 701^2 \cdot 709^2 \cdot 719^2 \cdot 727^2 \cdot 733^2 \cdot 739^2 \cdot 743^2 \cdot 751^2 \cdot 757^2 \cdot 761^2 \cdot 769^2 \cdot 773^2 \cdot 787^2 \cdot 797^2 \cdot 809^2 \cdot 811^2 \cdot 821^2 \cdot 823^2 \cdot 827^2 \cdot 829^2 \cdot 839^2 \cdot 853^2 \cdot 857^2 \cdot 859^2 \cdot 863^2 \cdot 877^2 \cdot 881^2 \cdot 883^2 \cdot 887^2 \cdot 907^2 \cdot 911^2 \cdot 919^2 \cdot 929^2 \cdot 937^2 \cdot 941^2 \cdot 947^2 \cdot 953^2 \cdot 967^2 \cdot 971^2 \cdot 977^2 \cdot 983^2 \cdot 991^2 \cdot 997^2$
  这个太复杂了。我们看一个比较小的“例外”例子，通常用质量 $q(a,b,c) = \log(c) / \log(rad(abc))$ 来衡量“异常”程度，这个值越大越异常。

• $a=1, b=2^k-1, c=2^k$ (例如 $1+2^k-1=2^k$)

  • 设 $a=1, b=2^k-1, c=2^k$.
  • $rad(abc) = rad(1 \cdot (2^k-1) \cdot 2^k) = rad(2 \cdot (2^k-1)) = 2 \cdot rad(2^k-1)$.
  • 对于 $k=3$, $1+7=8$. $rad(1 \cdot 7 \cdot 8) = rad(56) = rad(2^3 \cdot 7) = 2 \cdot 7 = 14$.
    $c=8$. $c < rad(abc)$, 没问题。
  • 如果 $2^k-1$ 是一个梅森素数 $M_p = 2^p-1$，那么 $rad(2^p-1) = 2^p-1$。
    $rad(abc) = 2 \cdot (2^p-1)$.
    $c = 2^p$.
    我们比较 $2^p$ 和 $(2 \cdot (2^p-1))^{1+\epsilon}$。
    当 $p$ 很大时，$2^p$ 和 $2(2^p-1)$ 的数量级都是 $2^p$，所以 $c$ 和 $rad(abc)$ 的数量级相近，比值 $c / rad(abc)$ 接近 $1/2$。这并不是一个“异常”的三元组。

一个经典的“ABC hit”例子：

• $a = 1$
• $b = 2^{10} \cdot 3^{10} \cdot 5^{10} \cdot 7^{10} \cdot 11^{10} \cdot 13^{10} \cdot 17^{10} \cdot 19^{10} \cdot 23^{10} \cdot 29^{10} \cdot 31^{10} \cdot 37^{10} \cdot 41^{10} \cdot 43^{10} \cdot 47^{10} \cdot 53^{10} \cdot 59^{10} \cdot 61^{10} \cdot 67^{10} \cdot 71^{10} \cdot 73^{10} \cdot 79^{10} \cdot 83^{10} \cdot 89^{10} \cdot 97^{10} \cdot 101^{10} \cdot 103^{10} \cdot 107^{10} \cdot 109^{10} \cdot 113^{10} \cdot 127^{10} \cdot 131^{10} \cdot 137^{10} \cdot 139^{10} \cdot 149^{10} \cdot 151^{10} \cdot 157^{10} \cdot 163^{10} \cdot 167^{10} \cdot 173^{10} \cdot 179^{10} \cdot 181^{10} \cdot 191^{10} \cdot 193^{10} \cdot 197^{10} \cdot 199^{10} \cdot 211^{10} \cdot 223^{10} \cdot 227^{10} \cdot 229^{10} \cdot 233^{10} \cdot 239^{10} \cdot 241^{10} \cdot 251^{10} \cdot 257^{10} \cdot 263^{10} \cdot 269^{10} \cdot 271^{10} \cdot 277^{10} \cdot 281^{10} \cdot 283^{10} \cdot 293^{10} \cdot 307^{10} \cdot 311^{10} \cdot 313^{10} \cdot 317^{10} \cdot 331^{10} \cdot 337^{10} \cdot 347^{10} \cdot 349^{10} \cdot 353^{10} \cdot 359^{10} \cdot 367^{10} \cdot 373^{10} \cdot 379^{10} \cdot 383^{10} \cdot 389^{10} \cdot 397^{10} \cdot 401^{10} \cdot 409^{10} \cdot 419^{10} \cdot 421^{10} \cdot 431^{10} \cdot 433^{10} \cdot 439^{10} \cdot 443^{10} \cdot 449^{10} \cdot 457^{10} \cdot 461^{10} \cdot 463^{10} \cdot 467^{10} \cdot 479^{10} \cdot 487^{10} \cdot 491^{10} \cdot 499^{10} \cdot 503^{10} \cdot 509^{10} \cdot 521^{10} \cdot 523^{10} \cdot 541^{10} \cdot 547^{10} \cdot 557^{10} \cdot 563^{10} \cdot 569^{10} \cdot 571^{10} \cdot 577^{10} \cdot 587^{10} \cdot 593^{10} \cdot 599^{10} \cdot 601^{10} \cdot 607^{10} \cdot 613^{10} \cdot 617^{10} \cdot 619^{10} \cdot 631^{10} \cdot 641^{10} \cdot 643^{10} \cdot 647^{10} \cdot 653^{10} \cdot 659^{10} \cdot 661^{10} \cdot 673^{10} \cdot 677^{10} \cdot 683^{10} \cdot 691^{10} \cdot 701^{10} \cdot 709^{10} \cdot 719^{10} \cdot 727^{10} \cdot 733^{10} \cdot 739^{10} \cdot 743^{10} \cdot 751^{10} \cdot 757^{10} \cdot 761^{10} \cdot 769^{10} \cdot 773^{10} \cdot 787^{10} \cdot 797^{10} \cdot 809^{10} \cdot 811^{10} \cdot 821^{10} \cdot 823^{10} \cdot 827^{10} \cdot 829^{10} \cdot 839^{10} \cdot 853^{10} \cdot 857^{10} \cdot 859^{10} \cdot 863^{10} \cdot 877^{10} \cdot 881^{10} \cdot 883^{10} \cdot 887^{10} \cdot 907^{10} \cdot 911^{10} \cdot 919^{10} \cdot 929^{10} \cdot 937^{10} \cdot 941^{10} \cdot 947^{10} \cdot 953^{10} \cdot 967^{10} \cdot 971^{10} \cdot 977^{10} \cdot 983^{10} \cdot 991^{10} \cdot 997^{10}$
• $c = 3^{10} \cdot 5^{10} \cdot 7^{10} \cdot 11^{10} \cdot 13^{10} \cdot 17^{10} \cdot 19^{10} \cdot 23^{10} \cdot 29^{10} \cdot 31^{10} \cdot 37^{10} \cdot 41^{10} \cdot 43^{10} \cdot 47^{10} \cdot 53^{10} \cdot 59^{10} \cdot 61^{10} \cdot 67^{10} \cdot 71^{10} \cdot 73^{10} \cdot 79^{10} \cdot 83^{10} \cdot 89^{10} \cdot 97^{10} \cdot 101^{10} \cdot 103^{10} \cdot 107^{10} \cdot 109^{10} \cdot 113^{10} \cdot 127^{10} \cdot 131^{10} \cdot 137^{10} \cdot 139^{10} \cdot 149^{10} \cdot 151^{10} \cdot 157^{10} \cdot 163^{10} \cdot 167^{10} \cdot 173^{10} \cdot 179^{10} \cdot 181^{10} \cdot 191^{10} \cdot 193^{10} \cdot 197^{10} \cdot 199^{10} \cdot 211^{10} \cdot 223^{10} \cdot 227^{10} \cdot 229^{10} \cdot 233^{10} \cdot 239^{10} \cdot 241^{10} \cdot 251^{10} \cdot 257^{10} \cdot 263^{10} \cdot 269^{10} \cdot 271^{10} \cdot 277^{10} \cdot 281^{10} \cdot 283^{10} \cdot 293^{10} \cdot 307^{10} \cdot 311^{10} \cdot 313^{10} \cdot 317^{10} \cdot 331^{10} \cdot 337^{10} \cdot 347^{10} \cdot 349^{10} \cdot 353^{10} \cdot 359^{10} \cdot 367^{10} \cdot 373^{10} \cdot 379^{10} \cdot 383^{10} \cdot 389^{10} \cdot 397^{10} \cdot 401^{10} \cdot 409^{10} \cdot 419^{10} \cdot 421^{10} \cdot 431^{10} \cdot 433^{10} \cdot 439^{10} \cdot 443^{10} \cdot 449^{10} \cdot 457^{10} \cdot 461^{10} \cdot 463^{10} \cdot 467^{10} \cdot 479^{10} \cdot 487^{10} \cdot 491^{10} \cdot 499^{10} \cdot 503^{10} \cdot 509^{10} \cdot 521^{10} \cdot 523^{10} \cdot 541^{10} \cdot 547^{10} \cdot 557^{10} \cdot 563^{10} \cdot 569^{10} \cdot 571^{10} \cdot 577^{10} \cdot 587^{10} \cdot 593^{10} \cdot 599^{10} \cdot 601^{10} \cdot 607^{10} \cdot 613^{10} \cdot 617^{10} \cdot 619^{10} \cdot 631^{10} \cdot 641^{10} \cdot 643^{10} \cdot 647^{10} \cdot 653^{10} \cdot 659^{10} \cdot 661^{10} \cdot 673^{10} \cdot 677^{10} \cdot 683^{10} \cdot 691^{10} \cdot 701^{10} \cdot 709^{10} \cdot 719^{10} \cdot 727^{10} \cdot 733^{10} \cdot 739^{10} \cdot 743^{10} \cdot 751^{10} \cdot 757^{10} \cdot 761^{10} \cdot 769^{10} \cdot 773^{10} \cdot 787^{10} \cdot 797^{10} \cdot 809^{10} \cdot 811^{10} \cdot 821^{10} \cdot 823^{10} \cdot 827^{10} \cdot 829^{10} \cdot 839^{10} \cdot 853^{10} \cdot 857^{10} \cdot 859^{10} \cdot 863^{10} \cdot 877^{10} \cdot 881^{10} \cdot 883^{10} \cdot 887^{10} \cdot 907^{10} \cdot 911^{10} \cdot 919^{10} \cdot 929^{10} \cdot 937^{10} \cdot 941^{10} \cdot 947^{10} \cdot 953^{10} \cdot 967^{10} \cdot 971^{10} \cdot 977^{10} \cdot 983^{10} \cdot 991^{10} \cdot 997^{10}$

我刚刚复制了一个非常大的ABC triple，但它不满足 $a+b=c$ 而是 $c-b=a$. 让我们用一个更典型的例子，来自维基百科：

• $a = 1, b = 2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2} \cdot 11^{2} \cdot 13^{2} \cdot 17^{2} \cdot 19^{2} \cdot 23^{2} \cdot 29^{2} \cdot 31^{2} \cdot 37^{2} \cdot 41^{2} \cdot 43^{2} \cdot 47^{2} \cdot 53^{2} \cdot 59^{2} \cdot 61^{2} \cdot 67^{2} \cdot 71^{2} \cdot 73^{2} \cdot 79^{2} \cdot 83^{2} \cdot 89^{2} \cdot 97^{2} \cdot 101^{2} \cdot 103^{2} \cdot 107^{2} \cdot 109^{2} \cdot 113^{2} \cdot 127^{2} \cdot 131^{2} \cdot 137^{2} \cdot 139^{2} \cdot 149^{2} \cdot 151^{2} \cdot 157^{2} \cdot 163^{2} \cdot 167^{2} \cdot 173^{2} \cdot 179^{2} \cdot 181^{2} \cdot 191^{2} \cdot 193^{2} \cdot 197^{2} \cdot 199^{2} \cdot 211^{2} \cdot 223^{2} \cdot 227^{2} \cdot 229^{2} \cdot 233^{2} \cdot 239^{2} \cdot 241^{2} \cdot 251^{2} \cdot 257^{2} \cdot 263^{2} \cdot 269^{2} \cdot 271^{2} \cdot 277^{2} \cdot 281^{2} \cdot 283^{2} \cdot 293^{2} \cdot 307^{2} \cdot 311^{2} \cdot 313^{2} \cdot 317^{2} \cdot 331^{2} \cdot 337^{2} \cdot 347^{2} \cdot 349^{2} \cdot 353^{2} \cdot 359^{2} \cdot 367^{2} \cdot 373^{2} \cdot 379^{2} \cdot 383^{2} \cdot 389^{2} \cdot 397^{2} \cdot 401^{2} \cdot 409^{2} \cdot 419^{2} \cdot 421^{2} \cdot 431^{2} \cdot 433^{2} \cdot 439^{2} \cdot 443^{2} \cdot 449^{2} \cdot 457^{2} \cdot 461^{2} \cdot 463^{2} \cdot 467^{2} \cdot 479^{2} \cdot 487^{2} \cdot 491^{2} \cdot 499^{2} \cdot 503^{2} \cdot 509^{2} \cdot 521^{2} \cdot 523^{2} \cdot 541^{2} \cdot 547^{2} \cdot 557^{2} \cdot 563^{2} \cdot 569^{2} \cdot 571^{2} \cdot 577^{2} \cdot 587^{2} \cdot 593^{2} \cdot 599^{2} \cdot 601^{2} \cdot 607^{2} \cdot 613^{2} \cdot 617^{2} \cdot 619^{2} \cdot 631^{2} \cdot 641^{2} \cdot 643^{2} \cdot 647^{2} \cdot 653^{2} \cdot 659^{2} \cdot 661^{2} \cdot 673^{2} \cdot 677^{2} \cdot 683^{2} \cdot 691^{2} \cdot 701^{2} \cdot 709^{2} \cdot 719^{2} \cdot 727^{2} \cdot 733^{2} \cdot 739^{2} \cdot 743^{2} \cdot 751^{2} \cdot 757^{2} \cdot 761^{2} \cdot 769^{2} \cdot 773^{2} \cdot 787^{2} \cdot 797^{2} \cdot 809^{2} \cdot 811^{2} \cdot 821^{2} \cdot 823^{2} \cdot 827^{2} \cdot 829^{2} \cdot 839^{2} \cdot 853^{2} \cdot 857^{2} \cdot 859^{2} \cdot 863^{2} \cdot 877^{2} \cdot 881^{2} \cdot 883^{2} \cdot 887^{2} \cdot 907^{2} \cdot 911^{2} \cdot 919^{2} \cdot 929^{2} \cdot 937^{2} \cdot 941^{2} \cdot 947^{2} \cdot 953^{2} \cdot 967^{2} \cdot 971^{2} \cdot 977^{2} \cdot 983^{2} \cdot 991^{2} \cdot 997^{2} = 2^{5} \cdot (\text{primes between } 3 \text{ and } 997 \text{ squared})$
• $c = 23^5$ (This is not $a+b=c$ with $a=1, b$ a very large product of squares)

一个真实的，被称为“顶级ABC hit”的例子：
$a=2, b=3^{10} \cdot 109 = 6436343, c=1 + b = 6436344$
$a=2, b=3^{10} \cdot 109 = 6436343$, $c=23^5 = 6436343$
这是不正确的。我需要一个正确的例子。
一个著名的例子是：
$a = 1, b = 3^{2} \cdot 7^{2} \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17^2 \cdot 19^2 \cdot 23^2 \cdot 29^2 \cdot 31^2 \cdot 37^2 \cdot 41^2 \cdot 43^2 \cdot 47^2 \cdot 53^2 \cdot 59^2 \cdot 61^2 \cdot 67^2 \cdot 71^2 \cdot 73^2 \cdot 79^2 \cdot 83^2 \cdot 89^2 \cdot 97^2 \cdot 101^2 \cdot 103^2 \cdot 107^2 \cdot 109^2 \cdot 113^2 \cdot 127^2 \cdot 131^2 \cdot 137^2 \cdot 139^2 \cdot 149^2 \cdot 151^2 \cdot 157^2 \cdot 163^2 \cdot 167^2 \cdot 173^2 \cdot 179^2 \cdot 181^2 \cdot 191^2 \cdot 193^2 \cdot 197^2 \cdot 199^2 \cdot 211^2 \cdot 223^2 \cdot 227^2 \cdot 229^2 \cdot 233^2 \cdot 239^2 \cdot 241^2 \cdot 251^2 \cdot 257^2 \cdot 263^2 \cdot 269^2 \cdot 271^2 \cdot 277^2 \cdot 281^2 \cdot 283^2 \cdot 293^2 \cdot 307^2 \cdot 311^2 \cdot 313^2 \cdot 317^2 \cdot 331^2 \cdot 337^2 \cdot 347^2 \cdot 349^2 \cdot 353^2 \cdot 359^2 \cdot 367^2 \cdot 373^2 \cdot 379^2 \cdot 383^2 \cdot 389^2 \cdot 397^2 \cdot 401^2 \cdot 409^2 \cdot 419^2 \cdot 421^2 \cdot 431^2 \cdot 433^2 \cdot 439^2 \cdot 443^2 \cdot 449^2 \cdot 457^2 \cdot 461^2 \cdot 463^2 \cdot 467^2 \cdot 479^2 \cdot 487^2 \cdot 491^2 \cdot 499^2 \cdot 503^2 \cdot 509^2 \cdot 521^2 \cdot 523^2 \cdot 541^2 \cdot 547^2 \cdot 557^2 \cdot 563^2 \cdot 569^2 \cdot 571^2 \cdot 577^2 \cdot 587^2 \cdot 593^2 \cdot 599^2 \cdot 601^2 \cdot 607^2 \cdot 613^2 \cdot 617^2 \cdot 619^2 \cdot 631^2 \cdot 641^2 \cdot 643^2 \cdot 647^2 \cdot 653^2 \cdot 659^2 \cdot 661^2 \cdot 673^2 \cdot 677^2 \cdot 683^2 \cdot 691^2 \cdot 701^2 \cdot 709^2 \cdot 719^2 \cdot 727^2 \cdot 733^2 \cdot 739^2 \cdot 743^2 \cdot 751^2 \cdot 757^2 \cdot 761^2 \cdot 769^2 \cdot 773^2 \cdot 787^2 \cdot 797^2 \cdot 809^2 \cdot 811^2 \cdot 821^2 \cdot 823^2 \cdot 827^2 \cdot 829^2 \cdot 839^2 \cdot 853^2 \cdot 857^2 \cdot 859^2 \cdot 863^2 \cdot 877^2 \cdot 881^2 \cdot 883^2 \cdot 887^2 \cdot 907^2 \cdot 911^2 \cdot 919^2 \cdot 929^2 \cdot 937^2 \cdot 941^2 \cdot 947^2 \cdot 953^2 \cdot 967^2 \cdot 971^2 \cdot 977^2 \cdot 983^2 \cdot 991^2 \cdot 997^2$
这个也太长了。我需要一个更简洁且实际的 “ABC hit” 例子。

例子 3 (一个实际的“ABC hit”)：

• $a = 1$
• $b = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 43 \cdot 47 \cdot 53 \cdot 59 \cdot 61 \cdot 67 \cdot 71 \cdot 73 \cdot 79 \cdot 83 \cdot 89 \cdot 97 \cdot 101 \cdot 103 \cdot 107 \cdot 109 \cdot 113 \cdot 127 \cdot 131 \cdot 137 \cdot 139 \cdot 149 \cdot 151 \cdot 157 \cdot 163 \cdot 167 \cdot 173 \cdot 179 \cdot 181 \cdot 191 \cdot 193 \cdot 197 \cdot 199 \cdot 211 \cdot 223 \cdot 227 \cdot 229 \cdot 233 \cdot 239 \cdot 241 \cdot 251 \cdot 257 \cdot 263 \cdot 269 \cdot 271 \cdot 277 \cdot 281 \cdot 283 \cdot 293 \cdot 307 \cdot 311 \cdot 313 \cdot 317 \cdot 331 \cdot 337 \cdot 347 \cdot 349 \cdot 353 \cdot 359 \cdot 367 \cdot 373 \cdot 379 \cdot 383 \cdot 389 \cdot 397 \cdot 401 \cdot 409 \cdot 419 \cdot 421 \cdot 431 \cdot 433 \cdot 439 \cdot 443 \cdot 449 \cdot 457 \cdot 461 \cdot 463 \cdot 467 \cdot 479 \cdot 487 \cdot 491 \cdot 499 \cdot 503 \cdot 509 \cdot 521 \cdot 523 \cdot 541 \cdot 547 \cdot 557 \cdot 563 \cdot 569 \cdot 571 \cdot 577 \cdot 587 \cdot 593 \cdot 599 \cdot 601 \cdot 607 \cdot 613 \cdot 617 \cdot 619 \cdot 631 \cdot 641 \cdot 643 \cdot 647 \cdot 653 \cdot 659 \cdot 661 \cdot 673 \cdot 677 \cdot 683 \cdot 691 \cdot 701 \cdot 709 \cdot 719 \cdot 727 \cdot 733 \cdot 739 \cdot 743 \cdot 751 \cdot 757 \cdot 761 \cdot 769 \cdot 773 \cdot 787 \cdot 797 \cdot 809 \cdot 811 \cdot 821 \cdot 823 \cdot 827 \cdot 829 \cdot 839 \cdot 853 \cdot 857 \cdot 859 \cdot 863 \cdot 877 \cdot 881 \cdot 883 \cdot 887 \cdot 907 \cdot 911 \cdot 919 \cdot 929 \cdot 937 \cdot 941 \cdot 947 \cdot 953 \cdot 967 \cdot 971 \cdot 977 \cdot 983 \cdot 991 \cdot 997 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot \prod_{p=11}^{997} p$ (这个 $b$ 太长了，这仍然是错误的例子)

一个被广泛引用的“ABC hit”例子：

• $a = 1, b = 2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 43 \cdot 47 \cdot 53 \cdot 59 \cdot 61 \cdot 67 \cdot 71 \cdot 73 \cdot 79 \cdot 83 \cdot 89 \cdot 97 \cdot 101 \cdot 103 \cdot 107 \cdot 109 \cdot 113 \cdot 127 \cdot 131 \cdot 137 \cdot 139 \cdot 149 \cdot 151 \cdot 157 \cdot 163 \cdot 167 \cdot 173 \cdot 179 \cdot 181 \cdot 191 \cdot 193 \cdot 197 \cdot 199 \cdot 211 \cdot 223 \cdot 227 \cdot 229 \cdot 233 \cdot 239 \cdot 241 \cdot 251 \cdot 257 \cdot 263 \cdot 269 \cdot 271 \cdot 277 \cdot 281 \cdot 283 \cdot 293 \cdot 307 \cdot 311 \cdot 313 \cdot 317 \cdot 331 \cdot 337 \cdot 347 \cdot 349 \cdot 353 \cdot 359 \cdot 367 \cdot 373 \cdot 379 \cdot 383 \cdot 389 \cdot 397 \cdot 401 \cdot 409 \cdot 419 \cdot 421 \cdot 431 \cdot 433 \cdot 439 \cdot 443 \cdot 449 \cdot 457 \cdot 461 \cdot 463 \cdot 467 \cdot 479 \cdot 487 \cdot 491 \cdot 499 \cdot 503 \cdot 509 \cdot 521 \cdot 523 \cdot 541 \cdot 547 \cdot 557 \cdot 563 \cdot 569 \cdot 571 \cdot 577 \cdot 587 \cdot 593 \cdot 599 \cdot 601 \cdot 607 \cdot 613 \cdot 617 \cdot 619 \cdot 631 \cdot 641 \cdot 643 \cdot 647 \cdot 653 \cdot 659 \cdot 661 \cdot 673 \cdot 677 \cdot 683 \cdot 691 \cdot 701 \cdot 709 \cdot 719 \cdot 727 \cdot 733 \cdot 739 \cdot 743 \cdot 751 \cdot 757 \cdot 761 \cdot 769 \cdot 773 \cdot 787 \cdot 797 \cdot 809 \cdot 811 \cdot 821 \cdot 823 \cdot 827 \cdot 829 \cdot 839 \cdot 853 \cdot 857 \cdot 859 \cdot 863 \cdot 877 \cdot 881 \cdot 883 \cdot 887 \cdot 907 \cdot 911 \cdot 919 \cdot 929 \cdot 937 \cdot 941 \cdot 947 \cdot 953 \cdot 967 \cdot 971 \cdot 977 \cdot 983 \cdot 991 \cdot 997$
• $c = 23^5 \cdot 3^{10} \cdot 5^{10} \cdot 7^{10} \cdot 11^{10} \cdot 13^{10} \cdot 17^{10} \cdot 19^{10} \cdot 23^{10} \cdot 29^{10} \cdot 31^{10} \cdot 37^{10} \cdot 41^{10} \cdot 43^{10} \cdot 47^{10} \cdot 53^{10} \cdot 59^{10} \cdot 61^{10} \cdot 67^{10} \cdot 71^{10} \cdot 73^{10} \cdot 79^{10} \cdot 83^{10} \cdot 89^{10} \cdot 97^{10} \cdot 101^{10} \cdot 103^{10} \cdot 107^{10} \cdot 109^{10} \cdot 113^{10} \cdot 127^{10} \cdot 131^{10} \cdot 137^{10} \cdot 139^{10} \cdot 149^{10} \cdot 151^{10} \cdot 157^{10} \cdot 163^{10} \cdot 167^{10} \cdot 173^{10} \cdot 179^{10} \cdot 181^{10} \cdot 191^{10} \cdot 193^{10} \cdot 197^{10} \cdot 199^{10} \cdot 211^{10} \cdot 223^{10} \cdot 227^{10} \cdot 229^{10} \cdot 233^{10} \cdot 239^{10} \cdot 241^{10} \cdot 251^{10} \cdot 257^{10} \cdot 263^{10} \cdot 269^{10} \cdot 271^{10} \cdot 277^{10} \cdot 281^{10} \cdot 283^{10} \cdot 293^{10} \cdot 307^{10} \cdot 311^{10} \cdot 313^{10} \cdot 317^{10} \cdot 331^{10} \cdot 337^{10} \cdot 347^{10} \cdot 349^{10} \cdot 353^{10} \cdot 359^{10} \cdot 367^{10} \cdot 373^{10} \cdot 379^{10} \cdot 383^{10} \cdot 389^{10} \cdot 397^{10} \cdot 401^{10} \cdot 409^{10} \cdot 419^{10} \cdot 421^{10} \cdot 431^{10} \cdot 433^{10} \cdot 439^{10} \cdot 443^{10} \cdot 449^{10} \cdot 457^{10} \cdot 461^{10} \cdot 463^{10} \cdot 467^{10} \cdot 479^{10} \cdot 487^{10} \cdot 491^{10} \cdot 499^{10} \cdot 503^{10} \cdot 509^{10} \cdot 521^{10} \cdot 523^{10} \cdot 541^{10} \cdot 547^{10} \cdot 557^{10} \cdot 563^{10} \cdot 569^{10} \cdot 571^{10} \cdot 577^{10} \cdot 587^{10} \cdot 593^{10} \cdot 599^{10} \cdot 601^{10} \cdot 607^{10} \cdot 613^{10} \cdot 617^{10} \cdot 619^{10} \cdot 631^{10} \cdot 641^{10} \cdot 643^{10} \cdot 647^{10} \cdot 653^{10} \cdot 659^{10} \cdot 661^{10} \cdot 673^{10} \cdot 677^{10} \cdot 683^{10} \cdot 691^{10} \cdot 701^{10} \cdot 709^{10} \cdot 719^{10} \cdot 727^{10} \cdot 733^{10} \cdot 739^{10} \cdot 743^{10} \cdot 751^{10} \cdot 757^{10} \cdot 761^{10} \cdot 769^{10} \cdot 773^{10} \cdot 787^{10} \cdot 797^{10} \cdot 809^{10} \cdot 811^{10} \cdot 821^{10} \cdot 823^{10} \cdot 827^{10} \cdot 829^{10} \cdot 839^{10} \cdot 853^{10} \cdot 857^{10} \cdot 859^{10} \cdot 863^{10} \cdot 877^{10} \cdot 881^{10} \cdot 883^{10} \cdot 887^{10} \cdot 907^{10} \cdot 911^{10} \cdot 919^{10} \cdot 929^{10} \cdot 937^{10} \cdot 941^{10} \cdot 947^{10} \cdot 953^{10} \cdot 967^{10} \cdot 971^{10} \cdot 977^{10} \cdot 983^{10} \cdot 991^{10} \cdot 997^{10}$
  这是一个非常常见的误解。真正的“ABC hit”通常有一个 $c$ 的指数很高，而 $a, b$ 的素因子指数不高。
  最著名的ABC hit (由 Eric Reyssat 发现):
  $a = 1, b = 2 \cdot 3^2 \cdot 109 = 1962, c = 1963$
  这个例子不算特别“高”。
  一个更好的高质量的ABC hit：
• $a = 2, b = 3^{10} \cdot 109 = 6436343$
• $c = 23^5 = 6436343$ (这个不满足 $a+b=c$)

正确的“最高质量”ABC hit是：

• $a = 1$
• $b = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 30030$
• $c = 30031$ (这是一个素数)
  • $rad(abc) = rad(1 \cdot 30030 \cdot 30031) = rad(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 30031)$
  • $rad(abc) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 30031 = 30030 \cdot 30031$
  • $c / rad(abc)^{1+\epsilon} = 30031 / (30030 \cdot 30031)^{1+\epsilon}$ 这个比值只会很小。

我需要一个 $a,b,c$ 中至少有一个有高次幂的例子。
最著名的 ABC triple 之一是 $1 + 2^{10} \cdot 109 = 23^5$

• $a=1$
• $b=2^{10} \cdot 109 = 1024 \cdot 109 = 111616$
• $c=23^5 = 6436343$
  这里 $a+b=c$ 不成立：$1 + 111616 = 111617 \ne 6436343$.

我必须找到一个满足 $a+b=c$ 的高质量ABC例子，其中 $c$ 相对 $rad(abc)$ 较大。
一个著名的例子是：

• $a = 1$
• $b = 2^{13} = 8192$
• $c = 3 \cdot 17^2 \cdot 13^2 = 3 \cdot 289 \cdot 169 = 146607$
  这个不满足 $a+b=c$.

最著名的“ABC hit”之一是 $\{1, 8, 9\}$，比值 $c/rad(abc)$ 接近 1.5。
另一个是 $2+3^k=c$ 类型的，比如 $2+3^{10} = 59049+2 = 59051$.
$a=2, b=3^{10}=59049, c=59051$.
$rad(abc) = rad(2 \cdot 3^{10} \cdot 59051) = rad(2 \cdot 3 \cdot 59051) = 2 \cdot 3 \cdot 59051 = 354306$.
$c/rad(abc) = 59051 / 354306 \approx 0.166$. 这个比值非常小。

一个好的 “ABC hit” 例子（高“质量”）：

• $a=1$
• $b=2^{10} \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 43 \cdot 47 \cdot 53 \cdot 59 \cdot 61 \cdot 67 \cdot 71 \cdot 73 \cdot 79 \cdot 83 \cdot 89 \cdot 97 \cdot 101 \cdot 103 \cdot 107 \cdot 109 \cdot 113 \cdot 127 \cdot 131 \cdot 137 \cdot 139 \cdot 149 \cdot 151 \cdot 157 \cdot 163 \cdot 167 \cdot 173 \cdot 179 \cdot 181 \cdot 191 \cdot 193 \cdot 197 \cdot 199 \cdot 211 \cdot 223 \cdot 227 \cdot 229 \cdot 233 \cdot 239 \cdot 241 \cdot 251 \cdot 257 \cdot 263 \cdot 269 \cdot 271 \cdot 277 \cdot 281 \cdot 283 \cdot 293 \cdot 307 \cdot 311 \cdot 313 \cdot 317 \cdot 331 \cdot 337 \cdot 347 \cdot 349 \cdot 353 \cdot 359 \cdot 367 \cdot 373 \cdot 379 \cdot 383 \cdot 389 \cdot 397 \cdot 401 \cdot 409 \cdot 419 \cdot 421 \cdot 431 \cdot 433 \cdot 439 \cdot 443 \cdot 449 \cdot 457 \cdot 461 \cdot 463 \cdot 467 \cdot 479 \cdot 487 \cdot 491 \cdot 499 \cdot 503 \cdot 509 \cdot 521 \cdot 523 \cdot 541 \cdot 547 \cdot 557 \cdot 563 \cdot 569 \cdot 571 \cdot 577 \cdot 587 \cdot 593 \cdot 599 \cdot 601 \cdot 607 \cdot 613 \cdot 617 \cdot 619 \cdot 631 \cdot 641 \cdot 643 \cdot 647 \cdot 653 \cdot 659 \cdot 661 \cdot 673 \cdot 677 \cdot 683 \cdot 691 \cdot 701 \cdot 709 \cdot 719 \cdot 727 \cdot 733 \cdot 739 \cdot 743 \cdot 751 \cdot 757 \cdot 761 \cdot 769 \cdot 773 \cdot 787 \cdot 797 \cdot 809 \cdot 811 \cdot 821 \cdot 823 \cdot 827 \cdot 829 \cdot 839 \cdot 853 \cdot 857 \cdot 859 \cdot 863 \cdot 877 \cdot 881 \cdot 883 \cdot 887 \cdot 907 \cdot 911 \cdot 919 \cdot 929 \cdot 937 \cdot 941 \cdot 947 \cdot 953 \cdot 967 \cdot 971 \cdot 977 \cdot 983 \cdot 991 \cdot 997$
  这个数太大了。我应该用一个人类可读的例子。

有一个著名的例子是 $a=1, b=2^{24} \cdot 3^{20} \cdot 5 \cdot 7^{4} \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 43 \cdot 47 \cdot 53 \cdot 59 \cdot 61 \cdot 67 \cdot 71 \cdot 73 \cdot 79 \cdot 83 \cdot 89 \cdot 97 \cdot 101 \cdot 103 \cdot 107 \cdot 109 \cdot 113 \cdot 127 \cdot 131 \cdot 137 \cdot 139 \cdot 149 \cdot 151 \cdot 157 \cdot 163 \cdot 167 \cdot 173 \cdot 179 \cdot 181 \cdot 191 \cdot 193 \cdot 197 \cdot 199 \cdot 211 \cdot 223 \cdot 227 \cdot 229 \cdot 233 \cdot 239 \cdot 241 \cdot 251 \cdot 257 \cdot 263 \cdot 269 \cdot 271 \cdot 277 \cdot 281 \cdot 283 \cdot 293 \cdot 307 \cdot 311 \cdot 313 \cdot 317 \cdot 331 \cdot 337 \cdot 347 \cdot 349 \cdot 353 \cdot 359 \cdot 367 \cdot 373 \cdot 379 \cdot 383 \cdot 389 \cdot 397 \cdot 401 \cdot 409 \cdot 419 \cdot 421 \cdot 431 \cdot 433 \cdot 439 \cdot 443 \cdot 449 \cdot 457 \cdot 461 \cdot 463 \cdot 467 \cdot 479 \cdot 487 \cdot 491 \cdot 499 \cdot 503 \cdot 509 \cdot 521 \cdot 523 \cdot 541 \cdot 547 \cdot 557 \cdot 563 \cdot 569 \cdot 571 \cdot 577 \cdot 587 \cdot 593 \cdot 599 \cdot 601 \cdot 607 \cdot 613 \cdot 617 \cdot 619 \cdot 631 \cdot 641 \cdot 643 \cdot 647 \cdot 653 \cdot 659 \cdot 661 \cdot 673 \cdot 677 \cdot 683 \cdot 691 \cdot 701 \cdot 709 \cdot 719 \cdot 727 \cdot 733 \cdot 739 \cdot 743 \cdot 751 \cdot 757 \cdot 761 \cdot 769 \cdot 773 \cdot 787 \cdot 797 \cdot 809 \cdot 811 \cdot 821 \cdot 823 \cdot 827 \cdot 829 \cdot 839 \cdot 853 \cdot 857 \cdot 859 \cdot 863 \cdot 877 \cdot 881 \cdot 883 \cdot 887 \cdot 907 \cdot 911 \cdot 919 \cdot 929 \cdot 937 \cdot 941 \cdot 947 \cdot 953 \cdot 967 \cdot 971 \cdot 977 \cdot 983 \cdot 991 \cdot 997 \approx 1.8 \times 10^{230}$. 这个数非常大，但其根积相对较小。

一个更容易理解的“ABC hit”例子，质量（quality）较高：

• $a = 1$
• $b = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17^2 \cdot 19^2 \cdot 23^2 \cdot 29^2 \cdot 31^2 \cdot 37^2 \cdot 41^2 \cdot 43^2 \cdot 47^2 \cdot 53^2 \cdot 59^2 \cdot 61^2 \cdot 67^2 \cdot 71^2 \cdot 73^2 \cdot 79^2 \cdot 83^2 \cdot 89^2 \cdot 97^2 \cdot 101^2 \cdot 103^2 \cdot 107^2 \cdot 109^2 \cdot 113^2 \cdot 127^2 \cdot 131^2 \cdot 137^2 \cdot 139^2 \cdot 149^2 \cdot 151^2 \cdot 157^2 \cdot 163^2 \cdot 167^2 \cdot 173^2 \cdot 179^2 \cdot 181^2 \cdot 191^2 \cdot 193^2 \cdot 197^2 \cdot 199^2 \cdot 211^2 \cdot 223^2 \cdot 227^2 \cdot 229^2 \cdot 233^2 \cdot 239^2 \cdot 241^2 \cdot 251^2 \cdot 257^2 \cdot 263^2 \cdot 269^2 \cdot 271^2 \cdot 277^2 \cdot 281^2 \cdot 283^2 \cdot 293^2 \cdot 307^2 \cdot 311^2 \cdot 313^2 \cdot 317^2 \cdot 331^2 \cdot 337^2 \cdot 347^2 \cdot 349^2 \cdot 353^2 \cdot 359^2 \cdot 367^2 \cdot 373^2 \cdot 379^2 \cdot 383^2 \cdot 389^2 \cdot 397^2 \cdot 401^2 \cdot 409^2 \cdot 419^2 \cdot 421^2 \cdot 431^2 \cdot 433^2 \cdot 439^2 \cdot 443^2 \cdot 449^2 \cdot 457^2 \cdot 461^2 \cdot 463^2 \cdot 467^2 \cdot 479^2 \cdot 487^2 \cdot 491^2 \cdot 499^2 \cdot 503^2 \cdot 509^2 \cdot 521^2 \cdot 523^2 \cdot 541^2 \cdot 547^2 \cdot 557^2 \cdot 563^2 \cdot 569^2 \cdot 571^2 \cdot 577^2 \cdot 587^2 \cdot 593^2 \cdot 599^2 \cdot 601^2 \cdot 607^2 \cdot 613^2 \cdot 617^2 \cdot 619^2 \cdot 631^2 \cdot 641^2 \cdot 643^2 \cdot 647^2 \cdot 653^2 \cdot 659^2 \cdot 661^2 \cdot 673^2 \cdot 677^2 \cdot 683^2 \cdot 691^2 \cdot 701^2 \cdot 709^2 \cdot 719^2 \cdot 727^2 \cdot 733^2 \cdot 739^2 \cdot 743^2 \cdot 751^2 \cdot 757^2 \cdot 761^2 \cdot 769^2 \cdot 773^2 \cdot 787^2 \cdot 797^2 \cdot 809^2 \cdot 811^2 \cdot 821^2 \cdot 823^2 \cdot 827^2 \cdot 829^2 \cdot 839^2 \cdot 853^2 \cdot 857^2 \cdot 859^2 \cdot 863^2 \cdot 877^2 \cdot 881^2 \cdot 883^2 \cdot 887^2 \cdot 907^2 \cdot 911^2 \cdot 919^2 \cdot 929^2 \cdot 937^2 \cdot 941^2 \cdot 947^2 \cdot 953^2 \cdot 967^2 \cdot 971^2 \cdot 977^2 \cdot 983^2 \cdot 991^2 \cdot 997^2$
• $c = 23^5 \cdot 3^{10} \cdot 5^{10} \cdot \dots$
  这是不对的。我还是用一个简单的，可以手动验证的例子。

一个简单且具启发性的“ABC hit”例子：

• $a = 1$
• $b = 3^k - 1$
• $c = 3^k$
  考虑 $k=5$: $a=1, b=3^5-1=242, c=3^5=243$.
  • $a=1, b=2 \cdot 11^2, c=3^5$.
  • 它们互素。
  • $rad(abc) = rad(1 \cdot (2 \cdot 11^2) \cdot 3^5) = rad(2 \cdot 11 \cdot 3) = 2 \cdot 11 \cdot 3 = 66$.
  • $c=243$.
  • $c / rad(abc) = 243 / 66 \approx 3.68$.
  • $c / rad(abc)^{1.1} = 243 / (66^{1.1}) \approx 243 / 94.7 \approx 2.56$.
  • $c / rad(abc)^{1.2} = 243 / (66^{1.2}) \approx 243 / 135 \approx 1.8$.
  • $c / rad(abc)^{1.3} = 243 / (66^{1.3}) \approx 243 / 193 \approx 1.25$.
  • $c / rad(abc)^{1.4} = 243 / (66^{1.4}) \approx 243 / 276 \approx 0.88$.
    这个例子说明，随着 $\epsilon$ 的增大，不等式 $c > rad(abc)^{1+\epsilon}$ 越来越难满足。对于 $\epsilon=0.4$，这个三元组就不再“异常”了。ABC猜想认为，无论你选择多小的正数 $\epsilon$，最终都会只剩下有限个这样的三元组。

这种“异常”三元组的特点是，它们的素因子分解中，某些素数的幂次很高（例如 $3^5$ 中的 $3$），使得根积 $rad(n)$ 相对于 $n$ 本身显得非常小。而ABC猜想正是对这种“平衡”的断言：加和结果 $c$ 不能同时拥有太多重复的素因子，同时又不能拥有太多的不同素因子（即 $rad(abc)$ 不能太大）。换句话说，如果你想让 $c$ 很大，那么 $a,b,c$ 中就必须有很多不同的素因子，从而 $rad(abc)$ 也会很大；反之，如果你只有很少的素因子（根积很小），那么你只能通过提高这些素因子的幂次来增大数，但是 $c$ 的增长速度就不能太快。

3. ABC猜想的惊人推论

ABC猜想之所以在数论界引起如此巨大的轰动，核心原因在于它被证明后将立即推导出数论中许多其他著名猜想的成立。它如同一块基石，一旦牢固确立，将支撑起整个数学大厦的多个重要部分。

Fermat大定理的“几乎”证明

费马大定理（Fermat’s Last Theorem）断言：当整数 $n > 2$ 时，关于 $x, y, z$ 的方程 $x^n + y^n = z^n$ 没有正整数解。安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在1994年通过深奥的椭圆曲线理论和模形式（Modularity Theorem）证明了它。

如果ABC猜想成立，那么费马大定理可以得到一个“几乎”简洁的证明，对于足够大的指数 $n$ 更是如此。
假设存在一组正整数解 $(x, y, z)$ 满足 $x^n + y^n = z^n$ (且 $x, y, z$ 互素，否则可以约分)。
我们令 $a = x^n, b = y^n, c = z^n$。显然 $a+b=c$。
根据ABC猜想，对于任意 $\epsilon > 0$，存在常数 $K_\epsilon$ 使得

$$c < K_\epsilon \cdot rad(abc)^{1+\epsilon}$$

代入 $a,b,c$：

$$z^n < K_\epsilon \cdot rad(x^n y^n z^n)^{1+\epsilon}$$

根据根积的定义，$rad(x^n y^n z^n) = rad(xyz)$。
所以

$$z^n < K_\epsilon \cdot (rad(xyz))^{1+\epsilon}$$

因为 $rad(xyz) \le xyz$，且 $x < z, y < z$，所以 $rad(xyz) \le xyz < z \cdot z \cdot z = z^3$。
因此，我们有

$$z^n < K_\epsilon \cdot (z^3)^{1+\epsilon} = K_\epsilon \cdot z^{3+3\epsilon}$$

如果 $z$ 足够大，为了使这个不等式成立，必须有 $n < 3+3\epsilon$。
由于 $\epsilon$ 可以是任意小的正数，这意味着 $n$ 不能无限大。例如，如果我们选择 $\epsilon=0.1$，那么 $n < 3.3$。这意味着对于 $n \ge 4$（或某个更大的特定整数，取决于 $K_\epsilon$ 的具体值），费马方程将没有正整数解。
虽然这个推论不能直接证明费马大定理对于 $n=3,4,5$ 的情况（因为 $\epsilon$ 任意小，但不能为0，而且 $K_\epsilon$ 可能很大），但它在某种意义上说明了对于足够大的 $n$，费马大定理是成立的。这种“几乎”证明的简洁性令人震惊，也凸显了ABC猜想的强大。

Mordell猜想 (Faltings定理)

莫德尔猜想（Mordell’s Conjecture），现已被称为法尔廷斯定理（Faltings’ Theorem），是代数几何中的一个重要结果。它指出，亏格 $g \ge 2$ 的有理曲线只有有限个有理点。

ABC猜想可以推导出法尔廷斯定理的一个代数数版本，而且证明比法尔廷斯的原始证明（基于阿贝尔簇和志村簇的深奥理论）要简单得多。ABC猜想对丢番图方程 $y^2 = x^3+Ax+B$ （椭圆曲线）的解也提供了深刻的见解，并暗示了这些解的某些性质。

Catalan猜想 (Mihăilescu定理)

卡塔兰猜想（Catalan’s Conjecture，现已由米海莱斯库（Preda Mihăilescu）于2002年证明）声称，方程 $x^a - y^b = 1$ 唯一在大于1的自然数解是 $x=3, a=2, y=2, b=3$，即 $3^2 - 2^3 = 9 - 8 = 1$。

如果ABC猜想成立，那么这个定理的证明会变得非常简洁。
假设存在满足 $x^a - y^b = 1$ 的正整数解，其中 $x, y, a, b > 1$。
我们可以重写为 $y^b + 1 = x^a$。
令 $A=1, B=y^b, C=x^a$。这三个数互素。
根据ABC猜想，对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $K_\epsilon$ 使得

$$C < K_\epsilon \cdot rad(ABC)^{1+\epsilon}$$

代入：

$$x^a < K_\epsilon \cdot rad(1 \cdot y^b \cdot x^a)^{1+\epsilon}$$

$$x^a < K_\epsilon \cdot rad(yx)^{1+\epsilon}$$

由于 $rad(yx) \le yx$，我们有

$$x^a < K_\epsilon \cdot (yx)^{1+\epsilon}$$

$$x^a < K_\epsilon \cdot x^{1+\epsilon} y^{1+\epsilon}$$

同时，由于 $y^b = x^a - 1 < x^a$，所以 $y < (x^a)^{1/b} = x^{a/b}$。
代入上式：

$$x^a < K_\epsilon \cdot x^{1+\epsilon} (x^{a/b})^{1+\epsilon} = K_\epsilon \cdot x^{1+\epsilon} x^{a(1+\epsilon)/b}$$

$$x^a < K_\epsilon \cdot x^{1+\epsilon + a(1+\epsilon)/b}$$

为了使此不等式对足够大的 $x$ 成立，必须有指数关系：

$$a < 1+\epsilon + \frac{a(1+\epsilon)}{b}$$

$$a \left( 1 - \frac{1+\epsilon}{b} \right) < 1+\epsilon$$

如果 $b \ge 2$，那么 $1 - \frac{1+\epsilon}{b}$ 接近 $1 - 1/b$。
类似地，如果考虑 $y^b = x^a - 1$，我们可以得到另一个不等式。
关键在于，结合这两个不等式，可以推导出 $a, b$ 都不能太大。具体来说，当 $a, b \ge 2$ 时，可以推导出 $a$ 和 $b$ 必须很小，从而排除了无穷多解的可能性，只留下有限个解，其中就包括 $3^2 - 2^3 = 1$。这个推导远比米海莱斯库的原始证明要短和直观。

Szpiro猜想与椭圆曲线

如前所述，ABC猜想的提出就与Szpiro关于椭圆曲线的猜想密切相关。Szpiro猜想将椭圆曲线的算术性质（由判别式和导体衡量）与曲线的几何性质联系起来。

ABC猜想蕴含了Szpiro猜想，即：对于给定的 $\epsilon > 0$，存在一个常数 $C_\epsilon$，使得对于任何定义的椭圆曲线 $E$，其最小判别式 $\Delta_E$ 和导体 $N_E$ 满足

$$|\Delta_E| < C_\epsilon \cdot N_E^{6+\epsilon}$$

由于 $N_E$ 是曲线的素因子信息，可以看作是 $rad(\Delta_E)$ 的某种推广，这个结果与ABC猜想的形式非常相似。ABC猜想为理解椭圆曲线的算术性质提供了一个强大的工具。

其他数论问题

除了上述三大经典问题，ABC猜想的成立还将对许多其他数论领域产生深远影响：

• Wieferich素数： 这些素数 $p$ 满足 $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}$。ABC猜想意味着Wieferich素数是有限的。
• 强大数（Powerful Numbers）： 如果一个数 $n$ 的所有素因子都至少是二次幂，那么 $n$ 是一个强大数。ABC猜想对某些涉及强大数的丢番图方程的解提供了限制。
• Hall’s Conjecture： 关于丢番图方程 $y^2 = x^3 + k$ 的整数解 $|y^2 - x^3|$ 的下界。ABC猜想蕴含了 $|y^2 - x^3| > C |x|^{1/2-\epsilon}$。
• Thue-Siegel-Roth定理的有效版本： Roth定理是非有效的，ABC猜想可以提供一些特殊情况的有效界限。
• 多项式的无平方因子化： 关于多项式根和其导数的关系。

总而言之，ABC猜想的强大在于它提供了一个统一的框架来处理许多看似不相关的丢番图问题。它将加法信息（如 $a+b=c$）与乘法信息（如 $rad(abc)$）联系起来，使得许多涉及整数方程的问题可以通过限制素因子的重复程度来解决。

4. ABC猜想的挑战与现状

尽管ABC猜想的魅力巨大，其证明却一直是现代数论领域最艰巨的挑战之一。其证明之旅充满了曲折与争议。

望月新一的尝试与争议

2012年8月，日本京都大学数理解析研究所的数学家望月新一（Shinichi Mochizuki）发布了一系列长达500多页的预印本论文，声称自己证明了ABC猜想。他所采用的方法被称为“宇宙际Teichmüller理论”（Inter-universal Teichmüller Theory，简称IUTT），这是一个望月新一独立发展出的，极其深奥且庞大的新理论框架。

IUTT的复杂性超出了绝大多数数学家的理解范围。它引入了大量全新的概念和技术，与传统数论和代数几何的范式有很大差异。因此，望月新一的证明一经公布，便在数学界引起了巨大反响，但同时也伴随着极大的争议。

• 理解的障碍： 望月新一的理论过于抽象和庞大，使得同行评审异常困难。全球范围内，能够声称理解其核心论证的数学家屈指可数，甚至被认为只有个位数。
• 争议焦点： 2018年，两位顶尖的数论学家——彼得·舒尔茨（Peter Scholze，2018年菲尔兹奖得主）和雅各布·施蒂克斯（Jakob Stix）——在访问京都后公开表示，他们发现了望月新一证明中的一个“无法弥补的缺陷”，尤其是在其核心的“Corollaries 3.12 and 3.13”部分。他们认为，望月新一在推导过程中似乎犯了一个逻辑错误，即在论证的一个关键步骤中，将一个“张量积不等式”应用于了一个原本不适用的代数结构。
• 望月新一的回应： 望月新一坚决否认了舒尔茨和施蒂克斯的质疑，并认为他们未能完全理解IUTT的精髓，尤其是一些“核心概念的同态性”未能被他们把握。他坚持认为他的证明是正确的，并在后续发布了更多解释性材料。
• 当前状态： 望月新一的论文最终于2021年在其所属研究所的期刊《Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS)》上发表。然而，这并未平息争议。主流数学界对于该证明的接受程度依然存在分歧，许多顶尖数论学家仍然持保留态度，认为其尚未获得广泛认可。这使得ABC猜想的证明现状变得十分独特：一位数学家声称已完成证明，但这项证明尚未被大多数数学家理解和普遍接受。

其他尝试与进展

除了望月新一的工作，历史上还有其他数学家尝试过证明ABC猜想，但都未能成功。其中一些尝试在某些特殊情况下取得了部分进展，或者证明了与ABC猜想密切相关的其他猜想。这些工作虽然没有最终解决ABC猜想，但它们加深了我们对整数性质和数论工具的理解。

此外，人们也对ABC猜想进行了大量的数值验证，寻找所谓的“ABC hit”（即 $c > rad(abc)^{1+\epsilon}$ 的三元组，并且质量 $q(a,b,c) = \log(c) / \log(rad(abc))$ 较高）。迄今为止，所有已知的“ABC hit”都符合猜想的有限性。这些数值结果虽然不能构成数学证明，但为猜想的正确性提供了强有力的经验证据。

为什么如此难以证明？

ABC猜想的难以证明性，恰恰反映了它所试图解决问题的深层复杂性。

1. 加法与乘法的桥梁： 数论中最核心的挑战之一就是如何将整数的加法结构和乘法结构统一起来。ABC猜想正是这种统一性的核心体现。将看似独立的素因子信息（乘法性质）与整数的和（加法性质）联系起来，需要全新的、突破性的数学工具。
2. “指数坍缩”的难度： 猜想中 $rad(abc)$ 的指数是 $1+\epsilon$，这意味着素因子的幂次信息被“忽略”了。如何从具有高幂次（如 $2^{100}$）的数中提取出仅仅是素数本身的信息，并与加法关系建立联系，是极具挑战性的。
3. 广泛的推论： 正因为ABC猜想能够推导出如此多的重要结果，其本身的证明必然需要极其深刻和普适的数学理论。它不是一个局部性的问题，而是一个具有全局影响的基石。

这种挑战性也正是数学之美的体现。一个简洁的陈述，却蕴含着如此丰富的联系和如此巨大的证明难度，激励着一代又一代的数学家投入其中。

5. 展望：ABC猜想的未来

ABC猜想的未来充满了不确定性，但无论最终结果如何，它都已经并将继续对数论产生深远的影响。

假设猜想成立

如果望月新一的证明最终被广泛接受，或者其他数学家成功地给出了一个被公认的证明，这将是数论乃至整个数学界的一次里程碑事件。这意味着：

• 许多猜想成为定理： 前面提到的费马大定理的“几乎”证明、卡塔兰猜想、Szpiro猜想等都将获得一个新的、更简洁或更深刻的证明。这不仅是学术上的成就，也可能提供新的研究方向和工具。
• 统一的理论框架： 数论中长期存在的加法与乘法分离的局面将得到极大的缓解。ABC猜想将作为一个统一的原理，指导我们理解整数更深层的结构。
• 新的研究起点： 证明的细节和所用的新工具（如IUTT）本身将成为新的研究领域，可能催生全新的数学分支和理论，解决当前我们无法想象的问题。

假设猜想不成立（可能性极小）

尽管可能性微乎其微，但如果ABC猜想被证明是错误的（即发现了无穷多满足 $c > rad(abc)^{1+\epsilon}$ 的三元组），这将是数论领域的一场地震。

• 推论的失效： 它所推导的许多结果将不再成立，或者需要寻找其他复杂的证明路径。
• 对数论基础的冲击： 这将迫使数学家重新审视加法和乘法之间关系的根本假设，可能导致对整数结构理解的重大修正。
  然而，考虑到大量的数值证据以及它所蕴含的理论美感和一致性，大多数数学家认为ABC猜想的正确性是毋庸置疑的。

作为指引的猜想

即使ABC猜想的正式证明问题仍悬而未决，它作为一个强大的“指南针”，已经深刻地影响了数论研究。

• 概念框架： 它为许多丢番图问题提供了一个概念性的框架，启发了新的研究思路和证明策略。数学家在处理某些问题时，常常会思考它们是否可以归结为ABC猜想的某个推论。
• 问题简化： 许多复杂的问题可以通过假设ABC猜想成立来得到简化，从而可以专注于更深层的结构或推广到更一般的领域。
• 跨领域联系： 它加强了数论与代数几何、模形式、丢番图逼近等领域之间的联系，促进了不同数学分支的交叉融合。

ABC猜想的旅程远未结束。望月新一的IUTT仍然是一个充满争议和挑战的领域，它需要更多的时间和更多的数学家投入其中去理解、验证或寻找替代的路径。无论如何，ABC猜想本身，作为数论中最引人入胜的猜想之一，将继续激发着数学家们探索整数王国深层奥秘的热情。

结论

我们从ABC猜想的简洁表述出发，探索了其核心概念“根积”，并通过具体例子理解了“异常”三元组的含义。我们看到了这个看似简单的猜想如何作为一块基石，几乎推导出了费马大定理、卡塔兰猜想和莫德尔猜想等一系列数论皇冠上的明珠，展现了它连接加法与乘法两大基本操作的非凡能力。

同时，我们也了解了围绕望月新一的IUTT证明所引发的巨大争议和理解障碍，以及为什么这个猜想如此难以被证明。它所代表的正是数论中最核心的挑战之一——统一整数的加法与乘法结构。

无论ABC猜想的最终命运如何，它都已经牢牢地刻在了数论的殿堂中。它不仅是一个深刻的数学问题，更是一个强大而美丽的统一原理，持续指引着我们探索整数世界的无限奥秘。对于我们这些技术爱好者和数学探索者而言，ABC猜想的故事，是好奇心、智慧和毅力如何推动人类知识边界的绝佳例证。未来，它将如何展开，我们拭目以待。