揭秘变分量子本征求解器 (VQE)：量子计算的“瑞士军刀”

发表于2025-07-24|更新于2025-07-26|计算机科学

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作为博主qmwneb946，我深知量子计算的魅力与挑战。在量子计算的黎明期，我们正处于一个被称为“噪声中等规模量子”（NISQ）的时代。在这个时代，量子计算机的性能尚不稳定，量子比特数量有限，且易受环境噪声干扰。然而，即便如此，我们仍渴望利用这些新兴的量子设备解决实际问题。正是为了应对这一挑战，一种巧妙的混合量子-经典算法应运而生，它就是我们今天要深入探讨的主角——变分量子本征求解器（Variational Quantum Eigensolver, VQE）。

引言：量子计算的现实与VQE的崛起

想象一下，我们拥有超越传统超级计算机的计算能力，能够模拟分子、设计新材料、优化复杂系统。这正是量子计算所承诺的未来。然而，通往这一未来的道路并非坦途。目前的量子硬件还远未达到“容错量子计算”的阶段，这意味着我们无法完全消除量子操作中的错误。

VQE，作为一种前沿的量子算法，正是为了在NISQ设备上实现有意义的计算而设计的。它巧妙地结合了量子计算机的并行计算能力和经典计算机的强大优化能力，形成了一个迭代的混合循环。VQE的核心目标是找到给定哈密顿量的最低能量状态，即其“基态”（ground state），以及对应的“基态能量”（ground state energy）。这一能力在量子化学、材料科学、药物发现等领域具有颠覆性的潜力，因为分子的稳定结构和反应路径都由其基态能量决定。

VQE算法的灵感来源于量子力学中的“变分原理”，通过不断调整一个参数化的量子态，使其能量期望值最小化，从而逼近真实的基态能量。它就像一把“瑞士军刀”，在NISQ时代的量子应用中发挥着多功能的作用。

接下来的篇章，我们将一同揭开VQE的神秘面纱，从其背后的量子力学基础，到算法的核心组件，再到它所面临的挑战和未来的发展方向。希望通过这篇博客，能让你对VQE有一个全面而深入的理解。

一、基础概念回顾：搭建VQE的基石

在深入VQE的细节之前，我们有必要回顾一些核心的量子力学和计算概念。它们是理解VQE工作原理的基石。

量子力学基础

量子比特 (Qubit)：
经典计算机的基本信息单位是比特，它只能是0或1。量子计算机的基本信息单位是量子比特（qubit），它可以是0，是1，也可以是0和1的叠加态。一个单量子比特的态可以表示为：

$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是复数，且满足归一化条件 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ 。这意味着，测量时以 $|\alpha|^2$ 的概率得到0，以 $|\beta|^2$ 的概率得到1。
叠加态 (Superposition) 和纠缠 (Entanglement)：
叠加态允许量子比特同时处于多个经典状态。纠缠是量子力学独有的现象，当两个或多个量子比特纠缠在一起时，它们的状态是相互关联的，即使相隔遥远，对其中一个的测量也会立即影响其他量子比特的状态。叠加和纠缠是量子计算超越经典计算的关键资源。
哈密顿量 (Hamiltonian)：
在量子力学中，哈密顿量 $H$ 是描述一个系统总能量的算符。它包含了系统中所有粒子的动能和势能信息。对于一个量子系统，其演化由薛定谔方程决定。在VQE中，我们通常关心的是系统的基态能量，这对应于哈密顿量的最小本征值。
对于一个由多个原子组成的分子，其哈密顿量通常可以表示为核动能、电子动能、核-核斥力、电子-电子斥力以及核-电子吸引力等项的总和。
薛定谔方程 (Schrödinger Equation)：
量子力学的基本方程之一，它描述了量子态随时间的变化。对于定态问题（与时间无关），薛定谔方程简化为：

$H|\psi\rangle = E|\psi\rangle$

其中 $H$ 是哈密顿量算符， $|\psi\rangle$ 是系统的本征态（或能量态）， $E$ 是对应的本征能量。VQE的目标正是找到这个方程的最小本征值 $E_0$ （基态能量）以及对应的本征态 $|\psi_0\rangle$ （基态）。
本征态 (Eigenstates) 和本征值 (Eigenvalues)：
当一个算符作用于一个特定的量子态时，如果该量子态只是被一个常数因子放大，那么这个量子态就是该算符的本征态，而那个常数因子就是对应的本征值。在薛定谔方程中， $|\psi\rangle$ 是哈密顿量 $H$ 的本征态， $E$ 是对应的本征能量（本征值）。所有可能的能量值都是哈密顿量的本征值。
基态 (Ground State) 和激发态 (Excited States)：
在所有可能的本征能量中，最小的那个能量值被称为基态能量 $E_0$ ，对应的本征态就是基态 $|\psi_0\rangle$ 。比基态能量高的能量值称为激发态能量，对应的本征态为激发态。在量子化学中，基态代表了分子最稳定的结构。

变分原理 (Variational Principle)

变分原理是VQE的数学基础。它指出，对于任何归一化的试探波函数 $|\psi_T\rangle$ （即 $\langle \psi_T | \psi_T \rangle = 1$ ），其能量期望值 $\langle E \rangle$ 总是大于或等于真实基态能量 $E_0$ ：

$\langle E \rangle = \frac{\langle \psi_T | H | \psi_T \rangle}{\langle \psi_T | \psi_T \rangle} \ge E_0$

这个原理提供了一个寻找基态能量的方法：我们可以通过不断调整试探波函数 $|\psi_T\rangle$ 的形式，使其能量期望值 $\langle E \rangle$ 最小化。当 $\langle E \rangle$ 达到最小值时，它就无限接近于真实的基态能量 $E_0$ ，此时的试探波函数也最接近真实的基态 $|\psi_0\rangle$ 。VQE正是利用了这一思想，在量子计算机上制备参数化的试探波函数，并通过经典优化器来调整这些参数。

量子线路基础

量子门 (Quantum Gates)：
量子门是作用于量子比特的幺正操作，类似于经典逻辑门。常见的单比特门有Pauli-X (比特翻转)、Pauli-Y、Pauli-Z (相位翻转)、Hadamard (生成叠加态) 和旋转门 ( $R_x, R_y, R_z$ )。两比特门有CNOT (受控非) 和SWAP门，它们可以产生纠缠。
量子线路 (Quantum Circuit)：
量子线路是由一系列量子门按特定顺序作用于量子比特所组成的计算序列。它描述了量子计算的步骤。
参数化量子线路 (Parametrized Quantum Circuit, PQC 或 Ansatz)：
在VQE中，我们并不直接猜测基态波函数，而是构建一个包含可调参数 $\vec{\theta} = (\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_k)$ 的量子线路 $U(\vec{\theta})$ 。这个线路作用于一个初始态（通常是 $|0\rangle^{\otimes n}$ ，即所有量子比特处于 $|0\rangle$ 态），生成一个试探波函数 $|\psi(\vec{\theta})\rangle = U(\vec{\theta})|0\rangle^{\otimes n}$ 。这个 $U(\vec{\theta})$ 就是我们所说的“拟设”或“Ansatz”。通过调整参数 $\vec{\theta}$ ，我们可以探索不同的量子态，从而找到能量最低的那个。

这些基础概念构成了理解VQE的必备知识。现在，让我们进入VQE的核心原理部分。

二、变分量子本征求解器 (VQE) 核心原理：混合算法的精髓

VQE是一种典型的混合量子-经典算法，它将复杂且需要量子资源的任务（如量子态制备和测量）交给量子计算机执行，而将参数优化这一经典任务交给经典计算机处理。这种分工使得VQE能够充分利用当前NISQ设备的优势，同时规避其劣势。

VQE 算法概述

VQE的整个流程是一个迭代的优化循环：

量子部分： 量子计算机负责制备一个参数化的量子态 $|\psi(\vec{\theta})\rangle$ ，并测量这个态下给定哈密顿量 $H$ 的能量期望值 $\langle \psi(\vec{\theta}) | H | \psi(\vec{\theta}) \rangle$ 。
经典部分： 经典计算机接收量子测量的结果，将其作为目标函数值，使用优化算法（如梯度下降）来更新参数 $\vec{\theta}$ ，以使能量期望值最小化。
迭代： 更新后的参数再被送回量子计算机，重复上述过程，直到能量收敛到最小值，此时得到的能量就是基态能量的近似值。

（图片来源：维基百科，VQE Schematic）

VQE 的“三板斧”：核心组件详解

VQE的成功实施依赖于三个关键组件的协同工作：问题映射、拟设（Ansatz）的设计以及经典优化器的选择。

1. 问题映射 (Problem Mapping)：从物理问题到量子比特

VQE通常用于解决量子化学和材料科学中的分子哈密顿量问题。然而，量子计算机处理的是量子比特，而不是电子和原子核。因此，我们需要将物理世界的哈密顿量表示转换为可以在量子计算机上操作的形式。这一过程称为“问题映射”。

一个典型的化学哈密顿量在二次量子化形式下，用产生算符 $a^\dagger_p$ 和湮灭算符 $a_q$ 表示为：

$H = \sum_{pq} h_{pq} a_p^\dagger a_q + \frac{1}{2} \sum_{pqrs} h_{pqrs} a_p^\dagger a_q^\dagger a_r a_s$

其中 $h_{pq}$ 和 $h_{pqrs}$ 是积分系数，表示电子在分子轨道中的动能、核势能以及电子间的相互作用。

为了将这些费米子算符映射到量子比特算符（Pauli 算符），我们需要使用特定的编码方案。常用的映射方法包括：

Jordan-Wigner 变换 (Jordan-Wigner Transform)：
这是一种直观的映射方法，它将每个费米子模式映射到一个量子比特。为了确保费米子的反对易关系（即两个电子不能占据相同的量子态），Jordan-Wigner 变换引入了非局域的Pauli $Z$ 链，将费米子算符转换为Pauli $X$ 和 $Y$ 算符以及Pauli $Z$ 算符的张量积。
例如，对于产生算符 $a_j^\dagger$ 和湮灭算符 $a_j$ ：

$a_j^\dagger \rightarrow \frac{1}{2} (X_j - iY_j) \prod_{k<j} Z_k$

$a_j \rightarrow \frac{1}{2} (X_j + iY_j) \prod_{k<j} Z_k$

这种变换会导致哈密顿量中的项变得非常长，包含许多 $Z$ 算符的乘积，这增加了测量的复杂度。
Bravyi-Kitaev 变换 (Bravyi-Kitaev Transform)：
相比Jordan-Wigner变换，Bravyi-Kitaev 变换能够生成更局域的Pauli字符串，从而减少哈密顿量中的项的长度，可能降低测量成本。但其映射规则相对复杂。
Parity 变换 (Parity Transform)：
这种变换也是一种空间压缩映射，有时可以减少所需的量子比特数量，并且产生的Pauli字符串的长度也相对较短。

无论采用哪种映射，最终目标都是将哈密顿量 $H$ 表示为一系列 Pauli 算符张量积的线性组合：

$H = \sum_k c_k P_k$

其中 $c_k$ 是实系数， $P_k$ 是一个Pauli字符串，例如 $P_k = I \otimes X \otimes Y \otimes Z \otimes I \dots$ 。VQE就是在量子计算机上测量这些Pauli字符串的期望值。

2. 拟设 (Ansatz) 或参数化量子线路 (PQC) 的选择与构建

Ansatz 是VQE的核心，它定义了试探波函数 $|\psi(\vec{\theta})\rangle$ 可以探索的量子态空间。一个好的 Ansatz 必须满足几个条件：

表达能力 (Expressibility)： 能够足够接近地逼近真实的基态。
可制备性 (Preparability)： 能够用有限数量的量子门在量子硬件上高效地实现。
深度 (Depth) / 参数数量： 线路深度和参数数量应适中，以避免NISQ设备上的噪声累积和经典优化问题。

Ansatz 的设计是一个活跃的研究领域，主要分为以下几类：

问题启发式 Ansatz (Problem-Inspired Ansatz)：
这类 Ansatz 结合了特定领域的物理或化学知识，通常具有更高的表达能力，能更有效地逼近目标基态。
- Unitary Coupled Cluster (UCC) Ansatz： 这是量子化学领域最常用的 Ansatz 之一。它来源于经典的耦合簇理论，通过幺正化将非幺正的耦合簇算符转化为量子线路。例如，UCCSD (Unitary Coupled Cluster Singles and Doubles) Ansatz 考虑了单激发（一个电子从占据轨道跳到空轨道）和双激发（两个电子同时发生跃迁）。其形式为 $e^{T - T^\dagger}$ ，其中 $T$ 包含单激发和双激发项。UCC-Ansatz 理论上可以达到任意精度，但其线路深度和参数数量随系统规模呈多项式增长，对于大规模问题而言，仍然具有挑战性。
- k-UpCCGSD： 是UCC的变体，通过截断耦合簇算符来减少参数和深度。
硬件高效型 Ansatz (Hardware Efficient Ansatz, HEA)：
这类 Ansatz 的设计目标是充分利用当前量子硬件的特性，尽可能减少线路深度和门数量，以降低噪声影响。HEA通常由交替的单比特旋转门层和两比特纠缠门层组成。
- 结构： 例如，每一层包含 $R_y(\theta_i)$ 门和 $R_z(\phi_j)$ 门作用于每个量子比特，然后是若干个 CNOT 门（通常是线性或环形连接），以产生量子纠缠。这些层可以重复多次。
- 优点： 线路深度较浅，易于在NISQ设备上实现。
- 缺点： 缺乏问题特异性，可能需要更多的层才能达到足够的表达能力，并且容易陷入优化景观中的“平坦高原”（Barren Plateaus）问题，导致梯度消失，优化困难。
自适应 Ansatz (Adaptive Ansatz)：
为了解决固定 Ansatz 的局限性（表达能力或效率），研究人员开发了自适应 Ansatz。这类方法在优化过程中动态地构建线路，逐步添加能够有效降低能量的门或项。
- ADAPT-VQE： 经典的 ADAPT-VQE 算法从一个预定义的“操作池”（例如，Jordan-Wigner 变换后的单激发和双激发算符）中选择最佳的算符添加到当前线路中。选择标准是该算符对梯度的贡献最大，即能够最有效地降低能量。通过这种方式，ADAPT-VQE 构建出一条更精简、更高效的线路，既保证了表达能力，又控制了线路深度。

Ansatz 的选择是 VQE 性能的关键。没有一个“放之四海而皆准”的 Ansatz，通常需要根据具体问题和可用硬件进行权衡和选择。

3. 经典优化器 (Classical Optimizer)：最小化能量期望值

经典优化器是VQE循环的“大脑”，它负责根据量子计算机返回的能量期望值 $E(\vec{\theta}) = \langle \psi(\vec{\theta}) | H | \psi(\vec{\theta}) \rangle$ ，调整 Ansatz 的参数 $\vec{\theta}$ ，以使 $E(\vec{\theta})$ 最小化。优化器的选择对VQE的收敛速度和结果精度至关重要。

优化器主要分为两大类：

无梯度优化器 (Gradient-Free Optimizers)：
这类优化器不需要计算目标函数的梯度，仅依赖于函数值本身。它们对噪声相对鲁棒，因为噪声会影响梯度的计算。
- COBYLA (Constrained Optimization By Linear Approximation)： 一种流行的局部优化算法，通过在当前点的线性近似来迭代搜索最小值。在NISQ设备上表现良好。
- SPSA (Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation)： 随机近似梯度下降方法，通过同时扰动所有参数来近似梯度，适用于高维参数空间和噪声环境。
- Nelder-Mead (单纯形法)： 一种直接搜索方法，通过调整一个“单纯形”（多边形）来逼近最小值。
- 优点： 对噪声具有一定的鲁棒性，不需要复杂的梯度计算。
- 缺点： 收敛速度可能较慢，容易陷入局部最小值，对于高维参数空间效率不高。
基于梯度优化器 (Gradient-Based Optimizers)：
这类优化器利用目标函数的梯度信息来指导搜索方向，通常收敛速度更快，效率更高。
- SGD (Stochastic Gradient Descent)、Adam、L-BFGS-B 等： 传统的机器学习优化器。
- 挑战： 在量子硬件上精确计算梯度并非易事。常用的方法是参数偏移法 (Parameter Shift Rule)，它利用量子门是周期函数这一特性来计算梯度：
  $\frac{\partial}{\partial \theta} \langle \psi(\theta) | H | \psi(\theta) \rangle = c (\langle \psi(\theta+\frac{\pi}{2c}) | H | \psi(\theta+\frac{\pi}{2c}) \rangle - \langle \psi(\theta-\frac{\pi}{2c}) | H | \psi(\theta-\frac{\pi}{2c}) \rangle)$
  这需要对每个参数进行两次额外的量子线路执行。当参数数量很多时，梯度计算的成本会非常高。
- 优点： 收敛速度快，可能找到更好的局部最小值。
- 缺点： 对噪声敏感，梯度计算成本高，可能受“平坦高原”问题影响。

对于VQE，选择合适的优化器需要权衡计算资源、噪声水平和所需精度。在NISQ时代，无梯度优化器因其对噪声的鲁棒性而常被使用，但随着硬件性能的提升和量子梯度估计技术的发展，基于梯度的优化器正变得越来越有吸引力。

4. 测量与期望值计算 (Measurement and Expectation Value Calculation)

在VQE的量子部分，我们需要测量哈密顿量 $H = \sum_k c_k P_k$ 的期望值 $\langle E \rangle = \langle \psi(\vec{\theta}) | H | \psi(\vec{\theta}) \rangle = \sum_k c_k \langle \psi(\vec{\theta}) | P_k | \psi(\vec{\theta}) \rangle$ 。
这涉及到对每个 Pauli 字符串 $P_k$ 的期望值进行测量。

Pauli 字符串的测量：
每个 Pauli 字符串 $P_k$ 都是 Pauli 算符 $I, X, Y, Z$ 的张量积。量子测量通常在计算基（Z基）下进行。如果 $P_k$ 包含 $X$ 或 $Y$ 算符，我们需要在测量前对相应的量子比特进行基变换：
- 测量 $X$ : 在测量前应用 Hadamard 门。
- 测量 $Y$ : 在测量前应用 $R_x(-\pi/2)$ 门，或 $R_y(\pi/2)$ 门，然后应用 Hadamard 门。
- 测量 $Z$ : 直接在计算基下测量。
  对每个 $P_k$ ，我们需要多次重复量子线路执行（称为“shots”）并收集测量结果，然后通过统计计算期望值。例如，对于 $P_k = Z_0 Z_1$ ，测量结果为 $|00\rangle, |11\rangle$ 对应 +1， $|01\rangle, |10\rangle$ 对应 -1。期望值就是 (+1结果数 - -1结果数) / 总shots数。
同时可测量项的分组 (Pauli Grouping)：
哈密顿量 $H$ 通常包含大量的 Pauli 字符串项。如果所有项都单独测量，会消耗巨大的测量资源。然而，如果一组 Pauli 字符串是“可对易的”（commuting），它们就可以在同一组测量中同时被测量。例如， $Z_0$ 和 $Z_1$ 是可对易的，可以在一次测量中获得它们各自的期望值。通过将可对易的 Pauli 字符串分组，可以显著减少所需的测量次数。这是降低VQE测量成本的关键策略。
Shot Noise (有限次测量带来的噪声)：
由于量子测量是概率性的，且实际计算中我们只能进行有限次测量（shots），因此每次测量得到的期望值都会存在统计误差，即“shot noise”。这个噪声会影响经典优化器的性能，使其难以精确收敛。增加 shots 数量可以减少 shot noise，但会增加计算时间。这是一个需要权衡的因素。

至此，我们已经详细剖析了VQE的核心组件。接下来，我们将通过一个简单的示例来串联整个VQE算法的流程。

三、VQE 算法流程详解：以氢分子为例

为了更好地理解VQE的运作方式，我们以计算氢分子（H $_2$ ）的基态能量为例。H $_2$ 是量子化学中常用的基准系统，它的简单性使其成为学习VQE的理想起点。

步骤总结

定义问题与预处理：
- 选择目标分子： 氢分子（H $_2$ ）。
- 确定分子结构： 通常我们会考虑 H-H 键长从短到长变化，绘制其势能曲线。固定原子核位置，计算电子哈密顿量。
- 选择基组： 将分子轨道表示为原子轨道的线性组合。基组的选择会影响计算的精度和所需的量子比特数量。例如，STO-3G基组，每个氢原子提供一个轨道，总共2个分子轨道。
- 粒子数冻结/活化： 对于H $_2$ 分子，有4个电子（2个氢原子，每个1个）。若使用最小基组，总共对应4个自旋轨道。通常，我们会进行“粒子数冻结”以减少有效量子比特数量，比如固定内层电子，只考虑价电子。H $_2$ 的两个电子填充到两个分子轨道中。
分子哈密顿量映射到Pauli字符串：
- 通过量子化学软件（如PySCF, Psi4）计算在选定基组下的分子哈密顿量的积分系数 ( $h_{pq}, h_{pqrs}$ )。
- 应用 Jordan-Wigner 或 Bravyi-Kitaev 变换，将费米子哈密顿量转化为 Pauli 字符串的线性组合： $H = \sum_k c_k P_k$ 。
- 对于H $_2$ 分子在STO-3G基组下，经过映射和对称性约化后，最终的Pauli哈密顿量通常可以简化为只包含几个Pauli项，例如（具体形式依赖于约化方式）：
  $H = c_0 I + c_1 Z_0 + c_2 Z_1 + c_3 Z_0 Z_1 + c_4 X_0 X_1 + c_5 Y_0 Y_1$
  其中 $c_i$ 是由分子积分得到的系数，这里可能只用2个量子比特。
选择拟设 (Ansatz)：
- 对于简单的H $_2$ 分子，通常可以使用 UCCSD-Ansatz 的简化版本，或者一个硬件高效型 Ansatz。
- 例如：一个简单的两比特 Ansatz (适用于H2)：
  $|\psi(\theta)\rangle = R_y(\pi/2)_0 R_x(-\pi/2)_1 \mathrm{CNOT}_{01} R_y(\theta)_0 |00\rangle$
  或者更简单的，仅包含几个单比特旋转和纠缠门的线路。一个常见的化学直觉启发的Ansatz是 UCC 或 RyRz，通常可以由 Qiskit 等库直接生成。
初始化参数 $\vec{\theta}$ ：
随机初始化或选择一些经验值作为 Ansatz 参数的初始猜测。
经典-量子迭代循环：
- a. 在量子计算机上制备量子态： 将当前参数 $\vec{\theta}$ 传入 Ansatz $U(\vec{\theta})$ ，在量子计算机上执行 $U(\vec{\theta})|0\rangle^{\otimes n}$ ，生成试探波函数 $|\psi(\vec{\theta})\rangle$ 。
- b. 测量能量期望值： 对于哈密顿量 $H = \sum_k c_k P_k$ $H = \sum_{k} c_{k} P_{k}$ 中的每个 Pauli 字符串 $P_k$ $P_{k}$ ，在量子计算机上对 $|\psi(\vec{\theta})\rangle$ $∣ ψ (θ)⟩$ 进行测量。重复测量（例如，1024 次 shots）以统计计算每个 $\langle P_k \rangle$ $⟨ P_{k} ⟩$ 。
  - 示例：测量 $X_0 X_1$
    - 对 $|\psi(\vec{\theta})\rangle$ 应用 $H_0 H_1$ 门。
    - 在计算基下测量量子比特 0 和 1。
    - 统计测量结果：如果结果是 $|00\rangle$ 或 $|11\rangle$ ，贡献 +1；如果结果是 $|01\rangle$ 或 $|10\rangle$ ，贡献 -1。
    - 计算 $\langle X_0 X_1 \rangle = (\text{+1 结果数} - \text{-1 结果数}) / \text{总测量次数}$ 。
  - 将所有 $\langle P_k \rangle$ 值与对应系数 $c_k$ 相乘并求和，得到当前参数下的能量期望值 $E(\vec{\theta})$ 。
- c. 经典优化器更新参数： 将 $E(\vec{\theta})$ 作为目标函数值，传递给经典优化器（例如，COBYLA）。优化器根据其策略计算新的参数 $\vec{\theta}'$ ，以使 $E$ 减小。
- d. 检查收敛条件： 判断优化器是否达到预设的收敛标准（例如，能量变化小于某个阈值，或达到最大迭代次数）。如果未收敛，将新的参数 $\vec{\theta}'$ 返回给量子部分，继续迭代。
结果输出：
当循环终止时，输出最终的能量期望值，这就是H $_2$ 分子的基态能量的VQE近似值，以及对应的最优参数 $\vec{\theta}_{\text{opt}}$ 和近似基态 $|\psi(\vec{\theta}_{\text{opt}})\rangle$ 。通过改变H-H键长，重复上述过程，可以得到H $_2$ 分子的势能曲线。

通过这个流程，VQE能够以迭代的方式，逐步逼近分子的真实基态能量，为解决复杂的量子化学问题提供了一条可行的途径。

四、VQE 的优势、挑战与前沿进展

VQE作为NISQ时代的核心算法，具有显著的优势，但同时也面临着一系列严峻的挑战。理解这些，有助于我们更好地把握VQE的潜力和局限性。

VQE 的优势

噪声鲁棒性 (Noise Robustness)：
VQE最显著的优势之一是其对量子硬件噪声的相对鲁棒性。由于它是一个变分算法，通过经典优化器在能量景观中寻找最小值，使得优化过程可以在一定程度上“消化”量子硬件上的测量噪声和门操作误差。当噪声导致能量期望值波动时，经典优化器仍能尝试找到更低的能量区域。这种特性使其比纯粹的量子算法更适合在当前噪声较大的NISQ设备上运行。
NISQ 友好 (NISQ-Friendly)：
VQE通常对量子比特的数量和量子线路的深度要求相对较低。虽然理论上需要足够的表达能力来逼近基态，但实际应用中可以通过选择合适的Ansatz来控制线路深度。这使得VQE能够适配当前有限的量子比特和较短相干时间的量子计算机。
广泛适用性 (Versatility)：
VQE不仅仅局限于量子化学。其基本思想——寻找哈密顿量的基态——可以推广到许多其他领域。
- 材料科学： 模拟晶体、超导体、拓扑材料等。
- 组合优化： 通过将优化问题（如最大割问题）转化为Ising模型或二次无约束二元优化（QUBO）问题，然后将其映射为哈密顿量，VQE可以寻找其基态来求解优化问题的最优解。
- 量子机器学习： VQE的变分思想和参数化量子线路也应用于量子机器学习中的模型训练。
变分原理保证 (Variational Guarantee)：
根据变分原理，VQE计算出的能量期望值总是大于或等于真实的基态能量。这意味着VQE不会得到一个低于真实基态能量的错误结果，这为结果的可靠性提供了一定保证。

VQE 面临的挑战

尽管VQE具有诸多优势，但它并非完美无缺，当前面临的主要挑战包括：

Ansatz 选择难题 (Ansatz Design Problem)：
- 表达能力 vs. 线路深度： 一个具有足够表达能力的Ansatz可能需要很深的线路和大量的参数，这在NISQ设备上容易受到噪声的严重影响。而一个简单的、硬件高效的Ansatz可能表达能力不足，无法找到真实的基态。如何在这两者之间找到最佳平衡是一个难题。
- 局部最小值 (Local Minima)： 能量景观通常是非凸的，经典优化器很容易陷入局部最小值，而不是全局最小值。这意味着VQE可能无法找到真正的基态能量，而是停留在某个非最优的能量状态。
- 平坦高原 (Barren Plateaus)： 这是VQE面临的最大理论挑战之一。随着量子比特数量和线路深度的增加，Ansatz的梯度可能会指数级地趋近于零，导致优化器无法有效地更新参数。想象一下在一个几乎完全平坦的碗底寻找最低点，这是非常困难的。Barren Plateaus 现象使得大规模VQE的优化变得极其困难，甚至不可能。
测量成本 (Measurement Overhead)：
一个典型的化学哈密顿量在映射为Pauli字符串后，可能包含成百上千甚至上万个项。尽管可以通过Pauli分组来减少测量次数，但大规模系统仍然需要大量的量子测量，这会消耗巨大的计算时间和资源。每一项的测量都需要一定数量的 shots 来降低统计误差。
经典优化成本 (Classical Optimization Cost)：
虽然优化在经典计算机上进行，但每次迭代都需要与量子硬件进行交互（量子态制备和测量），这个过程可能非常耗时。此外，如果使用基于梯度的优化器，梯度的计算（如通过参数偏移法）会进一步增加每次迭代的量子线路执行次数。
错误缓解 (Error Mitigation)：
虽然VQE对噪声有一定鲁棒性，但要在NISQ设备上实现化学精度（通常要求达到毫哈里（milli-Hartree）级别）的计算，仍然需要先进的错误缓解技术来压制噪声的影响。这些技术本身也会增加计算成本。

VQE 的前沿进展

为了克服上述挑战，VQE的研究领域正在快速发展，不断涌现出新的方法和技术：

自适应 Ansatz (Adaptive Ansatz)：
- ADAPT-VQE： 前面已经提到，通过动态地构建Ansatz，它能够显著减少线路深度和参数数量，从而有效缓解Barren Plateaus问题，并提高优化效率。
- Qubit-ADAPT-VQE： 进一步优化了ADAPT-VQE，使得选择的算符更高效。
- Variational Quantum Subspace Expansion (VQSE)： 用于计算激发态，通过在基态的计算结果上构建一个扩展空间来寻找激发态。
基于梯度的优化器与量子梯度估计：
- 量子自然梯度 (Quantum Natural Gradient, QNG)： 旨在克服传统梯度下降在非欧几里得量子态空间中的低效性，通过考虑量子态空间的几何结构来加速收敛，并可能减轻Barren Plateaus的影响。
- Fisher Quantum Information (FQI)： 利用量子费舍尔信息矩阵来加速优化。
高级测量策略：
- Qubit Tapering (量子比特削减)： 利用哈密顿量的对称性来减少有效量子比特数量。
- Pauli Grouping (Pauli分组) 的优化算法： 寻找最优的Pauli项分组策略，以最小化测量次数。
- Derandomization (去随机化)： 通过利用量子线路的确定性部分来减少对随机采样的依赖。
错误缓解技术 (Error Mitigation)：
- 零噪声外推 (Zero Noise Extrapolation, ZNE)： 通过在不同噪声水平下运行算法，然后外推到零噪声的情况。
- 概率错误消除 (Probabilistic Error Cancellation, PEC)： 通过执行错误操作的逆操作来在概率上消除错误。
- 量子自校准 (Quantum Self-Correction)： 期望在未来能够实现。
VQE 变体：计算激发态：
VQE最初是为了寻找基态，但实际应用中，激发态能量在光谱学、化学反应动力学中也至关重要。
- Subspace-VQE (SS-VQE)： 通过同时优化多个波函数，并最小化能量矩阵的特征值来获取基态和激发态。
- Variational Quantum Deflation (VQD)： 迭代地寻找激发态，每次找到一个态后，从哈密顿量中“去除”该态，再寻找下一个最低能量态。
与机器学习结合：
VQE的变分框架与机器学习算法有天然的契合点。参数化量子线路本身可以看作是一个量子神经网络，VQE的优化过程类似于训练机器学习模型。

这些前沿研究正在不断拓宽VQE的应用范围，并使其在NISQ设备上的性能不断提升。

五、实践 VQE：一个简单的代码示例 (使用 Qiskit)

为了让大家对VQE的实际操作有一个直观的感受，我们将使用 IBM 的 Qiskit 库来模拟计算一个非常简单的分子——H $_2$ 分子在某个固定键长下的基态能量。这个例子将展示从分子建模到运行VQE的整个流程。

注意： 这里的代码示例是简化版，用于演示VQE的基本流程，不追求化学精度。真实的化学计算通常需要更复杂的基组、Ansatz 和更长的运行时间。

# 导入必要的库
from qiskit_nature.drivers import Molecule
from qiskit_nature.problems.second_quantization import ElectronicStructureProblem
from qiskit_nature.mappers import JordanWignerMapper
from qiskit_nature.converters import QubitConverter

from qiskit.algorithms import VQE
from qiskit.algorithms.optimizers import COBYLA # 经典优化器
from qiskit.circuit.library import TwoLocal # 硬件高效型Ansatz

from qiskit.providers.aer import AerSimulator # 量子模拟器
from qiskit import QuantumCircuit, transpile
from qiskit.opflow import PauliSumOp, Z, I # 用于操作Pauli字符串

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

print("Qiskit Nature 版本:", qiskit_nature.__version__)
print("Qiskit 版本:", qiskit.__version__)

# 1. 定义分子 (H2分子，固定键长)
# 键长设定为0.74埃，接近H2的实验键长
# 原子坐标以埃为单位
molecule = Molecule(
    geometry=[["H", [0.0, 0.0, 0.0]], ["H", [0.0, 0.0, 0.74]]],
    charge=0,    # 总电荷
    multiplicity=1, # 自旋多重度 (2S+1)，1 表示单重态
)

# 2. 将分子定义为电子结构问题
# 使用 PySCF 驱动程序计算分子哈密顿量
# `basis='sto-3g'` 是一个最小基组
problem = ElectronicStructureProblem(molecule)

# 3. 将费米子哈密顿量映射到量子比特哈密顿量
# 选择 Jordan-Wigner 映射器
mapper = JordanWignerMapper()
# QubitConverter 负责将费米子哈密顿量转换为量子比特哈密顿量
# `two_qubit_reduction=False` 表示不进行双量子比特约化，使用所有量子比特
# `freeze_core=False` 表示不冻结核心电子（对于H2没有核心电子）
converter = QubitConverter(mapper, two_qubit_reduction=False)

# 运行量子化学计算并获取量子比特哈密顿量
# raw_ops 是一个字典，包含各种算符，我们主要关心 `ElectronicEnergy`
# 其中包含了我们需要的 PauliSumOp 形式的哈密顿量
# `aux_ops` 包含辅助算符，例如粒子数算符
driver_result = problem.solve()
qubit_op = converter.convert(driver_result.second_q_ops()[0]) # 获取电子能量算符

print("\n--- 原始量子比特哈密顿量 ---")
print(qubit_op)
# H2分子在STO-3G基组下，Jordan-Wigner映射后，通常会得到4个量子比特。
# 经过对称性约化后，可以简化到2个量子比特。
# Qiskit Nature的默认行为可能会自动进行一些约化。
# 在这里，我们得到的 `qubit_op` 已经是约化后的形式，通常是2个量子比特。
print(f"量子比特数量: {qubit_op.num_qubits}")


# 4. 选择 Ansatz (参数化量子线路)
# 这里我们使用 Qiskit 的 TwoLocal Ansatz，它是一种硬件高效型 Ansatz。
# `num_qubits`: 量子比特数量
# `rotation_blocks`: 单比特旋转门类型，这里使用 Ry 和 Rz
# `entanglement_blocks`: 纠缠门类型，这里使用 CNOT
# `entanglement`: 纠缠模式，'linear' 表示线性连接
# `reps`: 重复层数
num_qubits = qubit_op.num_qubits # 从哈密顿量中获取量子比特数量
ansatz = TwoLocal(num_qubits, ['ry', 'rz'], 'cx', 'linear', reps=2) # 2层Ry-Rz-CNOT

# 或者使用更化学直觉的 UCCSD Ansatz (通常更复杂，对于小分子可能需要更多计算资源)
# from qiskit_nature.circuit.library import UCCSD
# ansatz = UCCSD(converter, num_particles=problem.num_particles, num_spin_orbitals=problem.num_spin_orbitals)


# 5. 选择经典优化器
optimizer = COBYLA(maxiter=100) # 最大迭代次数

# 6. 配置后端（量子模拟器或真实硬件）
# 这里我们使用 AerSimulator 来进行本地模拟
backend = AerSimulator()

# 7. 构建 VQE 算法实例
vqe = VQE(
    ansatz=ansatz,
    optimizer=optimizer,
    quantum_instance=backend # 指定后端
    # callback=lambda eval_count, parameters, mean, std: print(f"Iteration {eval_count}: Energy = {mean:.6f}")
)

# 8. 运行 VQE 算法
print("\n--- 运行 VQE ---")
result = vqe.compute_minimum_eigenvalue(qubit_op)

# 9. 输出结果
print("\n--- VQE 结果 ---")
print(f"基态能量 (VQE): {result.eigenvalue.real:.6f} Ha (Hartree)")
print(f"优化后的参数: {result.optimal_parameters}")

# 获取精确解（通过经典对角化哈密顿量）进行比较
# 使用 NumPy 进行对角化
from qiskit.opflow import PauliOp
hamiltonian_matrix = qubit_op.to_matrix()
eigenvalues = np.linalg.eigvalsh(hamiltonian_matrix)
exact_ground_state_energy = np.min(eigenvalues).real

print(f"精确基态能量: {exact_ground_state_energy:.6f} Ha")
print(f"VQE 误差: {np.abs(result.eigenvalue.real - exact_ground_state_energy):.6f} Ha")

# 绘制势能曲线（概念性，需要多次运行VQE）
# 为了绘制势能曲线，我们需要改变键长，对每个键长都运行一次VQE
# 这里仅提供一个伪代码结构，实际运行会很慢
# bond_lengths = np.arange(0.5, 2.5, 0.1)
# vqe_energies = []
# for r in bond_lengths:
#     molecule.geometry = [["H", [0.0, 0.0, 0.0]], ["H", [0.0, 0.0, r]]]
#     problem = ElectronicStructureProblem(molecule)
#     driver_result = problem.solve()
#     qubit_op = converter.convert(driver_result.second_q_ops()[0])
#     result = vqe.compute_minimum_eigenvalue(qubit_op)
#     vqe_energies.append(result.eigenvalue.real)
# plt.plot(bond_lengths, vqe_energies, label='VQE Energy')
# plt.xlabel('Bond Length (Angstrom)')
# plt.ylabel('Energy (Hartree)')
# plt.title('H2 Molecular Dissociation Curve (VQE)')
# plt.legend()
# plt.grid(True)
# plt.show()

代码解释：

导入库： 引入Qiskit Nature（用于量子化学问题）和Qiskit Core（用于量子计算）。
定义分子： 使用 qiskit_nature.drivers.Molecule 类定义H $_2$ 分子及其几何结构。
电子结构问题： ElectronicStructureProblem 将分子转换为量子化学问题，并使用PySCF等经典驱动计算哈密顿量的积分。
映射： JordanWignerMapper 用于将费米子哈密顿量（由 ElectronicStructureProblem 提供）转换为Pauli字符串形式，以便在量子计算机上操作。QubitConverter 管理映射过程。
选择 Ansatz： TwoLocal 是一个方便的硬件高效型Ansatz。它由交替的单比特旋转门（Rx, Ry, Rz）和两比特纠缠门（如CNOT）组成。你可以调整重复层数 (reps) 和纠缠模式 (entanglement)。
选择经典优化器： COBYLA 是一种常用的无梯度优化器，对NISQ设备上的噪声具有一定的鲁棒性。
配置后端： AerSimulator 是Qiskit提供的本地量子模拟器，用于在经典计算机上模拟量子计算机的行为。你也可以将其替换为真实的量子硬件提供商的后端。
构建并运行VQE： 将Ansatz、优化器和后端传入 VQE 类，然后调用 compute_minimum_eigenvalue() 方法并传入量子比特哈密顿量来运行算法。
输出结果： 打印VQE计算得到的基态能量。为了验证结果，我们还通过将哈密顿量转换为矩阵并进行经典对角化来获取精确的基态能量。

运行这段代码，你将看到VQE计算出的H $_2$ 基态能量与精确解之间的比较，这展示了VQE在模拟分子性质方面的能力。

结论：VQE——NISQ时代的指路明灯

变分量子本征求解器（VQE）是当前量子计算领域最具前景和影响力的算法之一。它巧妙地结合了量子计算机的并行计算能力和经典计算机的强大优化能力，为在噪声中等规模量子（NISQ）设备上解决实际问题打开了大门。

我们深入探讨了VQE的核心思想——利用变分原理迭代寻找哈密顿量的最低能量状态。从量子力学基础的基态与哈密顿量，到算法的“三板斧”——问题映射、参数化量子线路（Ansatz）设计和经典优化器选择，每一个环节都至关重要。一个好的Ansatz能有效地探索量子态空间，一个高效的经典优化器能加速收敛，而准确的问题映射则是连接物理世界与量子计算的桥梁。

尽管VQE在噪声鲁棒性和NISQ友好性方面表现出色，但它也面临着严峻的挑战，尤其是Ansatz设计中的“平坦高原”问题、高昂的测量成本以及局部最小值问题。然而，量子科研界正积极投入，发展出ADAPT-VQE等自适应Ansatz、量子自然梯度等高级优化技术、以及零噪声外推等错误缓解方案，不断拓宽VQE的能力边界。

VQE的应用远不止于量子化学，它在材料科学、药物发现、组合优化甚至量子机器学习中都展现出巨大的潜力。它不仅仅是一个算法，更是连接当前受限量子硬件与未来宏大应用场景的桥梁。

随着量子硬件技术的不断进步和容错量子计算时代的逐步临近，VQE作为一种混合算法，仍将在早期阶段发挥关键作用。它教会了我们如何在噪声环境中提取有用的信息，并为更复杂的容错量子算法奠定了基础。

作为一位技术博主，我深信VQE是量子计算领域的一座里程碑。它让我们得以窥见量子世界的深邃奥秘，并激励着我们不断探索其无限可能。愿我们都能在这个令人兴奋的量子时代中，继续学习，不断创新！

文章作者: qmwneb946

文章链接: https://qmwneb946.dpdns.org/2025/07/24/2025-07-24-114027/

2025 计算机科学变分量子本征求解器（VQE）