生物质的催化脱氧：通往可持续燃料与化学品的炼金术

发表于2025-07-24|更新于2025-07-26|科技前沿

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你好，各位技术爱好者和数学狂人！我是qmwneb946，很高兴再次与大家共同探索科学前沿的奥秘。今天，我们将深入探讨一个既古老又新兴的话题——“生物质的催化脱氧”。这不仅仅是一个化学反应，更是我们迈向可持续能源未来的关键一步，它将大自然中蕴藏的碳水化合物转化为我们生活所需的液体燃料和高价值化学品，宛如一场现代的炼金术。

在当前全球能源结构转型和气候变化日益严峻的背景下，寻找可再生的、碳中性的替代能源已成为全球共识。生物质，作为地球上储量最丰富的可再生碳源，正以其独特的魅力吸引着科学家和工程师们的目光。然而，生物质在转化为燃料和化学品的过程中面临一个核心挑战：其极高的氧含量。这正是“催化脱氧”技术大显身手的地方，它旨在高效、选择性地去除生物质及其衍生物中的氧原子，从而提升其能量密度和应用价值。

本文将带领大家系统地了解生物质催化脱氧的方方面面，从生物质的组成、脱氧的必要性，到核心的催化剂类型、反应机理，再到当前面临的挑战与未来的发展方向。无论你是化学工程师、材料科学家，还是仅仅对可持续能源充满好奇心的技术爱好者，相信这趟旅程都将为你带来新的启发。

一、生物质：地球的天然碳储库

生物质，广义上指通过光合作用生成的有机物质，包括农作物秸秆、林业废弃物、畜禽粪便、工业有机废水以及城市垃圾等。它以碳水化合物的形式储存着太阳能，是唯一可再生的含碳有机资源。

生物质的组成与结构

生物质的主要成分是木质纤维素，占据了地球上所有生物质的90%以上。木质纤维素由三种主要的聚合物组成：

纤维素 (Cellulose)：约占生物质干重的35-50%。它是由D-葡萄糖单元通过 $\beta-1,4$ 糖苷键连接形成的长链线性高分子。这些链通过氢键和范德华力形成微纤，赋予植物细胞壁结构强度。
半纤维素 (Hemicellulose)：约占生物质干重的20-35%。它是一系列结构复杂的杂多糖，主要由木糖、阿拉伯糖、葡萄糖、半乳糖和甘露糖等单糖组成，通常具有分支结构，分子量比纤维素小。
木质素 (Lignin)：约占生物质干重的10-25%。它是一种非晶态的、高度交联的酚类聚合物，由苯丙烷单元（如对香豆醇、松柏醇、芥子醇）通过醚键和碳-碳键随机连接而成。木质素赋予植物硬度和抗微生物降解能力。

除了木质纤维素，藻类生物质富含脂类和蛋白质，而厨余垃圾则含有大量碳水化合物、蛋白质和脂肪。不同生物质的组成差异，决定了其后续转化路径和所需脱氧策略的不同。

生物质的优势与挑战

优势：

可再生性：通过光合作用不断生长，取之不尽。
碳中性：在理想情况下，其燃烧或转化过程中释放的二氧化碳量与其生长过程中吸收的二氧化碳量大致平衡。
来源广泛：分布于全球各地，减少对特定地理区域能源的依赖。
减少废弃物：将废弃生物质转化为能源或高价值产品，有助于环境管理。

挑战：

高氧含量：这是核心问题，导致生物质直接转化产物的热值低、化学稳定性差、腐蚀性强。
复杂结构：木质纤维素的紧密结构和木质素的复杂交联，增加了预处理和降解的难度。
高水分含量：增加了运输、储存和处理成本。
低能量密度：体积能量密度低于化石燃料，运输和储存效率低。
地理分散性：难以大规模集中收集。

高氧含量是生物质转化为高质量燃料和化学品的主要障碍，它使得生物油等中间产物呈现高粘度、高酸度、低热值、热不稳定性等缺点，严重限制了其在现有能源体系中的应用。因此，有效去除氧原子，即“脱氧”，是生物质转化的重中之重。

二、氧的挑战：为何必须脱氧？

化石燃料，如石油、天然气，主要由碳和氢组成，其氧含量极低。而生物质，作为碳水化合物的聚合物，含有大量的氧原子。例如，纤维素的分子式为 $(C_6H_{10}O_5)_n$ ，其碳氧比远低于烃类燃料。

氧对燃料性质的影响

生物质通过热解等方式获得的生物油，其氧含量可高达25-40wt%。这些氧以各种含氧官能团形式存在，如羟基、羰基、羧基、醚键等。这些含氧官能团对燃料性质产生多方面负面影响：

降低热值：氧原子不参与燃烧产热，反而增加了燃料的质量，导致单位质量或单位体积的热值显著降低。
- 例如，水的生成反应 $2H_2 + O_2 \rightarrow 2H_2O$ 释放热量，而氧以有机物的形式存在时，其键能（如C-O键、O-H键）需要在燃烧时断裂，消耗能量。
增加腐蚀性：生物油中含有大量的羧酸（如乙酸、甲酸），这些酸性物质对储存容器和发动机部件具有强烈的腐蚀作用。
热稳定性差：含氧官能团容易发生聚合、缩合等反应，导致生物油在储存或加热过程中粘度增加，甚至形成焦炭，堵塞管道和喷嘴。
亲水性强：含氧官能团（特别是羟基）使得生物油具有较高的亲水性，与烃类燃料不相溶，影响其作为运输燃料的直接应用。
影响催化转化：在后续的催化转化过程中，含氧官能团可能吸附在催化剂活性位点上，导致催化剂中毒或失活。

为了将生物质转化为与汽油、柴油、航空燃料等化石燃料相似的产品，必须有效去除这些氧原子，将其碳氢骨架转化为更稳定的烃类化合物。

三、生物质转化路径概览：催化脱氧的定位

生物质的转化路径多种多样，主要包括热化学转化、生物化学转化和物理转化。其中，热化学转化因其高效率和适用性而备受关注。

传统热化学转化技术

直接燃烧：最直接的利用方式，但效率相对较低，且会产生烟尘和污染物。适用于热电联产。
气化：在高温缺氧条件下将生物质转化为合成气（CO、 $H_2$ 、 $CH_4$ 等）。合成气可用于发电、生产甲醇或通过费托合成生产液体燃料。
热解（Pyrolysis）：在无氧或低氧条件下，中等温度 ( $400-600^\circ C$ ) 下快速分解生物质，主要产物是生物油（约60-75%）、生物炭和不可凝气体。生物油是催化脱氧的主要目标中间产物。

热解生物油虽然产量高，但其高氧含量（25-40wt%）、高酸度、高粘度、热不稳定性等问题严重限制了其直接应用。因此，需要进一步的升级处理。而“催化脱氧”正是升级热解生物油、使其向高品质烃类燃料迈进的关键一步。

水热液化（Hydrothermal Liquefaction, HTL）：在高温高压水环境中，将生物质转化为生物原油。水作为反应介质和部分反应物，有助于溶解和降解生物质。所得生物原油的氧含量通常低于热解生物油，但仍需进一步脱氧升级。

四、催化脱氧：从生物油到烃类燃料的转变

催化脱氧是指在催化剂作用下，通过化学反应将生物质或其衍生物中的氧原子以水 ( $H_2O$ )、二氧化碳 ( $CO_2$ ) 或一氧化碳 ( $CO$ ) 的形式去除的过程。其最终目标是生产富含烃类的液体燃料和高附加值化学品。

主要脱氧反应机理

催化脱氧主要涉及以下几种反应：

加氢脱氧 (Hydrodeoxygenation, HDO)：
- 这是最理想的脱氧途径，通过氢气与含氧官能团反应，将氧以水的形式去除。此过程通常在加压 ( $H_2$ 气氛) 和高温条件下进行。
- 例如，从醇类脱氧： $R-OH + H_2 \rightarrow R-H + H_2O$
- 从酮类脱氧： $R-CO-R' + 2H_2 \rightarrow R-CH_2-R' + H_2O$
- 从羧酸类脱氧： $R-COOH + 3H_2 \rightarrow R-CH_3 + 2H_2O$
- HDO的优点是碳损失最小，因此产品收率高。然而，需要消耗大量的氢气，而氢气生产成本较高。
脱羧基/脱羰基 (Decarboxylation, DCOx / Decarbonylation, DCO)：
- 脱羧基 (DCOx)：去除羧基 ( $COOH$ $COO H$ )，以二氧化碳 ( $CO_2$ $C O_{2}$ ) 的形式将氧去除。
  - $R-COOH \rightarrow R-H + CO_2$
- 脱羰基 (DCO)：去除羰基 ( $CO$ $CO$ )，以一氧化碳 ( $CO$ $CO$ ) 的形式将氧去除。
  - $R-CHO \rightarrow R-H + CO$
- 这些反应不需要氢气，因此成本较低。但缺点是会损失一个碳原子，降低碳收率。
脱水 (Dehydration)：
- 通过脱去水分子来去除氧原子。这通常发生在具有酸性位点的催化剂上，尤其是在醇类和酚类化合物中。
- 例如，醇脱水： $R-CH_2-CH_2-OH \rightarrow R-CH=CH_2 + H_2O$
- 此反应可能导致不饱和产物（烯烃、芳烃）的形成，这些产物可能进一步加氢或聚合。
加氢裂化 (Hydrocracking)：
- 在氢气存在下，将大分子裂解为小分子的过程。同时伴随加氢和脱氧。
- 对于木质素衍生的大分子酚类化合物，加氢裂化是实现其解聚和脱氧的重要途径。

这些反应可能同时发生，催化剂的设计和反应条件的控制对于选择性地促进某一种或某几种反应至关重要。

反应路径与中间产物

催化脱氧的反应路径非常复杂，因为生物质中的含氧化合物种类繁多。以热解生物油为例，它包含醛、酮、羧酸、醇、酚、酯、醚和糖类衍生物等数百种化合物。

通常，催化脱氧可分为以下几个阶段：

含氧官能团的饱和：例如，将羰基加氢为羟基，或将不饱和键加氢饱和。
C-O键断裂：这是脱氧的核心步骤，通过HDO、DCOx、DCO或脱水等方式实现。
异构化、裂化、芳构化：C-O键断裂后形成的烃类可能进一步发生骨架异构、链裂解或环化芳构化等反应，形成所需的燃料组分。

$\text{生物质衍生物} \xrightarrow{\text{加氢/脱水/脱羧}} \text{中间产物（如酚类、醇类）} \xrightarrow{\text{HDO/DCOx/DCO}} \text{烷烃、芳烃}$

理解这些复杂的反应网络和机理对于设计高效、高选择性的催化剂至关重要。例如，对于酚类化合物，可以通过酚环加氢饱和后再进行C-O键断裂，或者直接进行C-O键断裂。前者需要较强的加氢功能，但可以保留环结构；后者可能导致芳构化或裂解。

五、催化剂：过程的核心驱动力

催化剂是生物质催化脱氧的“心脏”，其性能直接决定了转化效率、产品选择性和经济性。理想的催化剂应具备高活性、高选择性、高稳定性、易再生性和低成本等特点。

催化剂分类与作用机理

目前，用于生物质催化脱氧的催化剂主要可分为以下几类：

贵金属催化剂

代表：Pt、Pd、Ru、Rh等负载型催化剂（如 $Pt/C$ , $Pd/Al_2O_3$ , $Ru/TiO_2$ ）。
特点：
- 优点：具有非常高的加氢和HDO活性，对C=O、C=C键和C-O键的断裂都非常有效，产物选择性好，不易结焦。
- 缺点：成本昂贵，储量稀少；对硫、氮等杂质敏感，易中毒。
作用机理：贵金属位点主要提供加氢功能，促进氢气活化并加氢到含氧官能团上。同时，一些贵金属对C-O键的断裂也有贡献。载体（如碳、氧化铝、二氧化硅、氧化钛、氧化锆）通常提供酸性位点或影响金属分散度，从而协同促进反应。
应用：常用于高附加值化学品生产或作为模型化合物研究，在生物油升级中需要高纯度原料。

贱金属硫化物催化剂

代表： $MoS_2$ , $WS_2$ , $CoMoS$ , $NiMoS$ 等负载型催化剂。
特点：
- 优点：与石油加氢脱硫/脱氮催化剂类似，对硫、氮具有良好的耐受性；具有中等的HDO活性，成本相对较低。
- 缺点：需要硫化预处理才能形成活性相；活性通常低于贵金属催化剂；对某些含氧化合物的脱氧效率不高。
作用机理：活性位点通常认为是硫化物的边缘位点，这些位点能够吸附和活化氢气以及含氧分子。加氢和C-O键断裂在这些位点上协同进行。
应用：适用于含有硫、氮杂质的生物油，有望与现有炼油工艺结合。

非硫化态过渡金属催化剂

代表：Ni、Co、Cu、Fe等负载型或非负载型催化剂。
特点：
- 优点：成本低廉，储量丰富；具有一定的加氢和脱氧活性。
- 缺点：活性和选择性通常低于贵金属和硫化物催化剂；易发生烧结和积炭失活；对某些反应选择性差。
作用机理：主要通过金属的加氢功能促进HDO。通常需要通过合金化、氧化物促进剂（如MgO、ZrO2）或特殊制备方法来提升其性能和稳定性。
应用：在水相脱氧（如水热升级）中，Ni和Ru等催化剂表现良好。

酸性催化剂

代表：沸石（如ZSM-5, Beta, USY）、杂多酸、磺酸化碳材料、固体酸（如 $SO_4^{2-}/ZrO_2$ ）。
特点：
- 优点：主要促进脱水、脱羧基/脱羰基和裂化反应；具有孔道结构和形状选择性；成本较低。
- 缺点：缺乏加氢能力，通常需要与金属组分结合；易积炭，活性位点覆盖。
作用机理：提供路易斯酸或布朗斯特酸位点，催化含氧官能团的质子化、脱水、裂解和重排。
应用：通常作为双功能催化剂的酸性载体或作为预处理步骤中的催化剂。

双功能催化剂

概念：将金属位点（提供加氢功能）和酸性位点（提供裂化、脱水、异构化功能）集成在同一催化剂上。
代表：金属负载于沸石（如 $Pd/HZSM-5$ , $Ru/Beta$ ）、金属氧化物载体（如 $Ni/SiO_2-Al_2O_3$ ）。
特点：
- 优点：通过金属和酸性位点的协同作用，可以更高效地进行加氢脱氧、异构化和裂解，从而实现更高的脱氧效率和产物选择性。例如，金属位点将酚类加氢为环己醇，酸性位点再将环己醇脱水和加氢裂化为烷烃。
- 缺点：位点平衡、协同效应优化、制备复杂性。
作用机理：
- 加氢功能：由金属纳米颗粒提供，负责活化氢气和加氢含氧官能团（如羰基、烯烃、芳环）。
- 酸性功能：由载体（如沸石的骨架酸性位点）提供，负责催化脱水、异构化、裂化和C-O键断裂等反应。
- 两者协同，例如：
  $\text{酚} \xrightarrow{\text{金属加氢}} \text{环己醇} \xrightarrow{\text{酸性脱水}} \text{环己烯} \xrightarrow{\text{金属加氢}} \text{环己烷}$

催化剂设计原理

活性相组成：选择合适的金属或金属氧化物，如Pt、Pd、Ru、Ni等，或硫化物如 $MoS_2$ 。
载体选择：选择具有合适酸性强度、孔道结构和热稳定性的载体，如氧化铝、二氧化硅、沸石、碳等。载体不仅提供支撑，还可提供酸性位点并影响金属分散度。
形貌与结构控制：通过纳米技术控制金属颗粒尺寸、形貌和暴露晶面，优化活性位点的数量和性质。
双功能协同：精确调控金属与酸性位点之间的距离和比例，实现最佳的协同效应。
抗积炭设计：通过优化孔道结构、引入碱性位点或选择合适的反应条件来抑制积炭。

设计高性能催化剂需要深入理解反应机理、催化剂的物理化学性质以及活性位点的结构-性能关系。这通常涉及复杂的量子化学计算、原位表征和动力学研究。

六、反应条件与反应器设计

除了催化剂本身，反应条件（温度、压力、氢油比、空速）和反应器类型也对催化脱氧过程至关重要。

反应条件

温度：通常在 $200-400^\circ C$ 范围内。
- 过低：反应速率慢，脱氧效率低。
- 过高：易导致副反应（如裂化过度、积炭），降低液体产物收率。
- 温度对反应的选择性也有显著影响，例如，低温有利于选择性加氢，高温则促进C-O键断裂和裂化。
压力：特别是氢气分压，通常在 $1-10 MPa$ 范围。
- 氢气压力：高氢压有利于加氢反应和抑制积炭，从而提高脱氧效率和催化剂稳定性。但过高的压力会增加设备投资和操作成本。
- HDO反应通常需要高压氢气。而DCOx/DCO反应则在低压甚至常压下进行。
氢油比 ( $H_2$ /oil ratio)：表示进入反应器的氢气与生物油的摩尔比或体积比。
- 高氢油比有利于充分加氢，抑制副反应，减少积炭。但过高的氢气流量会增加循环成本。
液时空速 (Liquid Hourly Space Velocity, LHSV)：
- 表示单位催化剂体积每小时处理的液体原料体积。
- 低LHSV（长停留时间）有利于提高脱氧程度，但会降低生产效率。
- 高LHSV（短停留时间）有利于提高生产效率，但脱氧程度可能不足。
溶剂效应：
- 在一些生物油升级过程中，为了降低生物油粘度、提高反应物与催化剂的接触效率，会使用溶剂（如甲醇、乙醇、四氢呋喃）。
- 溶剂的选择会影响反应路径和产物分布，甚至可能与生物油组分发生反应。

反应器类型

固定床反应器 (Fixed-bed Reactor)：
- 最常用的实验室和工业反应器类型。催化剂固定在反应器内，原料气体/液体通过催化剂床层。
- 优点：操作简单，催化剂与流体分离容易。
- 缺点：存在传热传质限制，易出现热点，对于积炭严重的反应再生困难。
浆态床反应器 (Slurry Reactor)：
- 催化剂以细小颗粒形式悬浮在液体反应物中。
- 优点：传热传质性能好，温度分布均匀；对催化剂磨损和压降不敏感。
- 缺点：催化剂与产物分离困难；催化剂磨损。
三相滴流床反应器 (Trickle-bed Reactor)：
- 气体和液体（通常为向下）通过固定的催化剂床层，液体以薄膜形式流动。
- 优点：适用于气液固三相反应，传热传质条件较好。
- 缺点：操作复杂，需要精确控制气液分布。
釜式反应器 (Batch Reactor)：
- 在实验室研究中常用，用于探索新催化剂和反应条件。
- 优点：操作灵活，易于控制。
- 缺点：不适合连续生产。

反应器的选择取决于生物油的性质、反应条件、催化剂类型以及生产规模。

七、挑战与未来展望

生物质催化脱氧技术虽然取得了显著进展，但要实现大规模商业化应用，仍面临诸多挑战。

当前挑战

催化剂失活：
- 积炭：生物油中含有大量不饱和化合物和酚类，在高温下易发生聚合、缩合反应，形成焦炭覆盖催化剂活性位点，导致失活。这是最主要的失活机制。
- 中毒：生物油中的微量硫、氮、氯、碱金属和灰分等杂质会吸附在催化剂活性位点上，导致催化剂中毒。
- 烧结：高温下金属纳米颗粒易聚集长大，降低活性表面积。
- 浸出：在水相反应中，活性金属组分可能从载体上浸出。
- 催化剂的再生（烧炭再生、氢气还原）虽然可行，但会增加操作成本和复杂性。
氢气消耗与成本：
- HDO反应需要消耗大量氢气。目前氢气主要来自化石燃料的蒸汽重整，这与生物质碳中性的理念相悖，且氢气生产和储存成本高昂。
- 寻找低成本、可持续的氢气来源，或开发非加氢脱氧技术，是未来重要方向。
原料复杂性与预处理：
- 生物油成分复杂且不稳定，不同来源的生物质产生不同的生物油。这使得开发普适性催化剂和工艺流程变得困难。
- 生物油的预处理（如去除水分、灰分、重组分等）会增加成本。
选择性控制：
- 在脱氧的同时，可能发生裂化、聚合、异构化等副反应，导致目标产物收率不高，或产生大量非燃料组分。
- 如何精确控制反应路径，提高特定燃料组分（如汽油、柴油、航空煤油）的选择性，是技术难题。
过程放大与经济性：
- 实验室小试结果如何放大到工业规模，面临传热传质、反应器设计等工程挑战。
- 生物质收集、运输、预处理、转化和产品分离的整个价值链的经济性，与传统化石燃料相比仍不具竞争力。

未来展望

尽管面临挑战，生物质催化脱氧作为生产可持续燃料和化学品的重要途径，其未来发展潜力巨大。

新型高效催化剂的开发：
- 抗积炭催化剂：设计具有大孔结构、疏水表面或特殊酸碱性质的催化剂，以抑制积炭形成或提高积炭去除效率。
- 单原子催化剂 (SACs)：将金属分散到原子尺度，最大限度地提高原子利用率，同时可能提供独特的活性位点和选择性。
- 金属有机框架 (MOFs) 和 共价有机框架 (COFs)：这些多孔材料具有可调控的孔道结构和功能化位点，有望用于选择性催化。
- 双功能与多功能催化剂：进一步优化金属和酸性位点协同作用，开发集成多种功能的复合催化剂。
- 非贵金属催化剂：重点开发更廉价、高性能的非贵金属催化剂，如通过纳米结构调控、合金化或载体协同作用。
低氢耗或非加氢脱氧技术：
- 自供氢反应：探索在反应过程中通过水相重整或甲醇重整等方式原位生成氢气，减少外加氢气需求。
- 电化学脱氧：利用电化学方法在温和条件下实现含氧官能团的脱除。
- 催化裂解/脱氧一体化：在热解过程中直接引入催化剂，实现生物质的快速催化热解和原位脱氧，简化工艺。
生物质全组分高值化利用：
- 不仅仅关注生物油的升级，更要考虑纤维素、半纤维素、木质素等生物质各组分的分离、预处理和选择性转化，实现最大化的碳利用效率。
- 例如，将纤维素转化为糖，再发酵或催化转化为乙醇、乳酸；将木质素转化为芳香族单体或碳材料。
反应器和工艺流程的创新：
- 开发新型高效反应器，如微反应器、膜反应器等，以解决传热传质问题，提高反应效率。
- 设计更集成化、连续化的工艺流程，简化操作，降低能耗。
- 利用人工智能和机器学习优化催化剂设计和工艺参数。

展望代码应用

作为一名技术博主，我们也可以设想一些如何利用编程和数据分析来加速生物质催化脱氧研究的例子。例如，我们可以使用Python来分析实验数据，可视化催化剂性能，甚至建立简单的机器学习模型来预测催化剂活性。

下面是一个简化的Python代码示例，展示如何模拟和可视化催化剂活性随时间的变化，这在研究催化剂寿命和失活机制时非常有用：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 假设催化剂活性随时间呈指数衰减
# 定义一个函数来模拟催化剂活性
def simulate_catalyst_activity(time_hours, initial_activity=100, decay_rate=0.05):
    """
    模拟催化剂活性随时间的变化。
    参数:
        time_hours (np.array): 时间点数组 (小时)。
        initial_activity (float): 初始催化剂活性 (例如，产品收率或转化率)。
        decay_rate (float): 活性衰减速率。
    返回:
        np.array: 对应时间点的催化剂活性。
    """
    activity = initial_activity * np.exp(-decay_rate * time_hours)
    return activity

# 模拟实验时间范围 (小时)
time_points = np.linspace(0, 100, 200) # 从0到100小时，共200个点

# 模拟两种不同衰减速率的催化剂
activity_catalyst_A = simulate_catalyst_activity(time_points, decay_rate=0.03) # 较慢衰减
activity_catalyst_B = simulate_catalyst_activity(time_points, decay_rate=0.07) # 较快衰减

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(time_points, activity_catalyst_A, label='催化剂 A (衰减率: 0.03/hr)', color='skyblue', linewidth=2)
plt.plot(time_points, activity_catalyst_B, label='催化剂 B (衰减率: 0.07/hr)', color='salmon', linestyle='--', linewidth=2)

plt.title('生物质催化脱氧中催化剂活性随时间的变化', fontsize=16)
plt.xlabel('操作时间 (小时)', fontsize=14)
plt.ylabel('相对催化剂活性 (%)', fontsize=14)
plt.grid(True, linestyle=':', alpha=0.7)
plt.legend(fontsize=12)
plt.ylim(0, 105)
plt.xlim(0, 100)
plt.show()

# 数学公式举例：催化剂活性的指数衰减模型
# 假设活性 $A(t)$ 随时间 $t$ 呈指数衰减，其数学表达式为：
# $$A(t) = A_0 \cdot e^{-kt}$$
# 其中，$A(t)$ 是时间 $t$ 时的活性，$A_0$ 是初始活性，$k$ 是衰减常数。