密码学中的证明系统：从零知识到SNARKs的奇妙旅程

大家好，我是你们的博主 qmwneb946。在数字时代，信任是稀缺资源。我们如何能确信一个计算结果是正确的，同时又不想重新执行整个计算过程？或者，我们如何在不泄露任何敏感信息的前提下，向他人证明某个声明的真实性？这些问题看似矛盾，但在密码学中，它们却被一个优雅的范式——证明系统 (Proof Systems)——完美地解决了。

从最初的理论探索，到如今在区块链、隐私计算等领域掀起巨浪的零知识证明 (Zero-Knowledge Proofs)，再到令人惊叹的简洁非交互知识论证 (SNARKs) 和可扩展透明知识论证 (STARKs)，证明系统已经走过了一段激动人心的旅程。今天，就让我们一起深入这场奇妙的探索，揭开密码学中证明系统的神秘面纱。

证明系统基础：信任的基石

在深入各种复杂的证明系统之前，我们首先要理解其最基本的构成要素和核心特性。

什么是证明系统？

一个证明系统通常涉及两个主要参与方：

• 证明者 (Prover, P)：他拥有一个秘密（被称为“证人”或“witness”）和一项声明（被称为“论断”或“statement”），并试图说服验证者这项声明是真实的。
• 验证者 (Verifier, V)：他希望确认证明者声明的真实性，但可能不想或无法访问证明者拥有的秘密信息，甚至可能不想重新执行证明者所做的所有计算。

P会生成一个证明 (Proof) $ \pi $，并将其发送给V。V则会根据$ \pi $和公开的声明来判断该声明是否成立。

我们可以把它想象成一个谜题：P知道谜底，并希望V相信他知道谜底，但V既不想知道谜底是什么，也不想自己去解谜。P的目标是提供一个“凭证”$ \pi $，让V在检查这个凭证后，确信P确实知道谜底。

核心特性

一个合格的证明系统必须满足以下几个核心属性：

• 完备性 (Completeness)
  如果一个声明是真实的，并且证明者拥有正确的证人，那么诚实的证明者总能生成一个有效的证明，使得诚实的验证者以极高的概率（通常是1或接近1）接受它。
  数学上表示为：对于所有真实的声明 $x$ 和对应的证人 $w$，若 $(x, w)$ 满足某个关系 $R$，则 $ \text{Pr}[\text{V 接受 P 的证明}] \approx 1 $。

• 可靠性 (Soundness)
  如果一个声明是虚假的，那么即使是恶意的证明者，也无法在没有正确证人的情况下，说服诚实的验证者接受这个虚假的声明。
  数学上表示为：对于所有虚假的声明 $x$，无论证明者做什么，V接受 $x$ 证明的概率都非常低（通常是可忽略的）。
  值得注意的是，可靠性又分为两种：

  • 完美可靠性 (Perfect Soundness)：无论恶意证明者拥有多大的计算能力，都无法伪造证明。这在理论上更强，但实践中很难达到。
  • 计算可靠性 (Computational Soundness)：恶意证明者在多项式时间内无法伪造证明。这依赖于底层密码学假设的计算难度。绝大多数现代密码学证明系统都依赖于计算可靠性。

• 知识可靠性 (Knowledge Soundness 或 Proof of Knowledge)
  如果证明者能够说服验证者接受某个声明，那么这证明者必然“知道”该声明对应的证人。换句话说，存在一个“抽取器 (Extractor)”算法，能够从与恶意证明者的交互中“抽取”出真实的证人。这确保了证明的不仅仅是声明本身，更是证明者拥有相应知识。

交互性

证明系统根据证明者和验证者之间是否需要多次通信，可以分为两类：

• 交互式证明 (Interactive Proofs, IP)
  证明者和验证者之间进行多轮通信。每一轮，证明者发送一些信息，验证者根据这些信息和之前的通信内容，发送一个挑战给证明者，直到验证者最终决定接受或拒绝证明。早期的零知识证明多是交互式的。

• 非交互式证明 (Non-Interactive Proofs, NIP)
  证明者只需生成一个证明，并将其一次性发送给验证者。验证者独立地检查这个证明的有效性，无需与证明者进行进一步通信。这种形式在实际应用中更受欢迎，因为效率更高，且更易于集成到异步系统中（如区块链）。

零知识证明：隐私与验证的完美结合

零知识证明 (Zero-Knowledge Proof, ZKP) 是证明系统领域最具革命性的概念之一。它在完备性和可靠性的基础上，引入了一个额外的、颠覆性的特性——零知识性。

零知识的奥秘

• 零知识性 (Zero-Knowledge)
  验证者除了知道声明的真实性之外，不会从证明过程中学习到任何关于证人（秘密信息）的额外信息。
  这意味着，即使验证者是恶意的，他也无法通过证明过程推断出任何关于证人的有用信息。
  数学上表示为：对于任意恶意验证者 $V^*$，存在一个“模拟器 (Simulator)”算法 $S$，使得 $V^*$ 与诚实证明者 $P$ 交互的“视图 (View)”（即 $V^*$ 看到的所有消息）与 $S$ 在不与 $P$ 交互的情况下生成的“视图”在计算上是不可区分的。简单来说，如果 $V^*$ 能从证明中学到什么，那么模拟器也能在不知道证人的情况下生成一个看起来完全一样的“学习体验”。

一个经典的例子是阿里巴巴的洞穴：
想象一个环形洞穴，在洞穴深处有一道魔法门。只有说出咒语才能打开门。阿里巴巴（证明者）知道咒语，而胖子（验证者）想知道阿里巴巴是否知道咒语，但不想知道咒语本身。

1. 阿里巴巴进入洞穴，走到岔路口。胖子在外等待。
2. 阿里巴巴选择其中一条路径走进去。
3. 胖子随机喊出一条路径（比如A或B）。
4. 阿里巴巴从胖子喊出的那条路径走出来。如果他选择的路径与胖子喊出的不同，他就必须通过魔法门才能从胖子指定的那条路出来。
   这个过程重复多次。如果阿里巴巴每次都能成功从胖子指定的路径走出来，那么胖子就能以极高的概率相信阿里巴巴确实知道咒语，但他从未知道咒语是什么。这就是零知识的直观体现。

早期交互式零知识证明：图3着色问题

为了更好地理解交互式零知识证明，我们来看一个更具体的例子：图3着色问题 (Graph 3-Coloring)。
给定一个图 $G=(V, E)$，目标是使用最多3种颜色给图的顶点着色，使得任意一条边的两个端点颜色不同。这是一个NP完全问题，很难找到着色方案，但给定一个着色方案，验证其正确性却很容易。

假设P拥有一个 $G$ 的合法3着色方案，他想向V证明他知道这个方案，但不想泄露任何颜色信息。

协议步骤：

1. 准备阶段： P为图 $G$ 中的每个顶点选择一个随机的置换 (permutation) $\pi$ 来打乱颜色（例如，红色变成蓝色，蓝色变成绿色等），然后计算每个顶点的“打乱后的颜色”并将其承诺 (commit) 给V（例如，使用密码学哈希函数 $H$ 对 (顶点ID, 打乱后的颜色) 进行哈希，并发送哈希值）。
   $C_i = H(\text{vertex}_i, \text{shuffled\_color}_i)$
   这些承诺 $C_i$ 隐藏了原始颜色信息。

2. 挑战阶段： V随机选择一条边 $(u, v) \in E$，发送给P作为挑战。

3. 响应阶段： P收到挑战边 $(u, v)$ 后，揭示顶点 $u$ 和 $v$ 的“打乱后的颜色”及其原始置换 $\pi_u, \pi_v$。V可以验证：

   • 1. 揭示的颜色与之前的承诺 $C_u, C_v$ 相符。
   • 2. 揭示的 $u, v$ 的“打乱后的颜色”是不同的（因为原始颜色就不同）。

4. 重复阶段： 重复步骤 1-3 多次（例如 $k$ 次）。如果P在所有 $k$ 轮中都能成功响应V的挑战，那么V相信P确实知道 $G$ 的合法3着色方案。

为什么是零知识？
在每一轮中，V只看到一条边的两个顶点被置换后的颜色。由于颜色是随机置换过的，V无法从这些颜色中推断出原始的着色方案。每轮挑战对V来说都是独立的，即便知道了一条边的颜色，V也无法推断出整个图的颜色信息。重复多轮只是为了增加可靠性。

从交互到非交互：Fiat-Shamir 启发式

交互式零知识证明虽然强大，但在许多应用场景中并不实用，因为它需要证明者和验证者之间进行多轮实时通信。为了解决这个问题，Fiat-Shamir 启发式 (Fiat-Shamir Heuristic) 应运而生。

Fiat-Shamir 启发式将一个交互式证明转换为非交互式证明。其核心思想是，用一个密码学哈希函数 $H$ 来模拟验证者在交互协议中提出的随机挑战。
具体来说，证明者在生成第一轮承诺后，不等待验证者的挑战，而是计算一个哈希值 $h = H(\text{声明}, \text{所有承诺})$。这个哈希值被视为验证者的“挑战”，然后证明者根据这个 $h$ 生成响应。最终，证明者将所有的承诺、哈希挑战和响应打包成一个单一的非交互式证明。验证者收到证明后，独立地计算 $h$，然后检查证明的有效性。

核心思想：
一个密码学哈希函数被视为一个“随机预言机 (Random Oracle)”。随机预言机是一个理想化的概念，它对任何新输入都返回一个完全随机的、之前未曾见过的输出。在实践中，我们使用像 SHA-256 这样的密码学哈希函数来近似随机预言机。

Fiat-Shamir 转换的安全性：
这种转换的安全性是在随机预言机模型下证明的。在标准模型下（不假设哈希函数是随机预言机），Fiat-Shamir 转换并不总是安全的，但实践中它已被广泛接受并用于许多实际系统。

简洁非交互知识论证 (SNARKs)：通用可编程证明系统

零知识证明的突破性进展，尤其是其非交互式形式，为构建更高效、更私密的系统奠定了基础。其中，简洁非交互知识论证 (Succinct Non-Interactive Argument of Knowledge, SNARK) 是一个里程碑式的成就。

SNARKs 的崛起

SNARKs 的名称本身就包含了其最重要的特性：

• 简洁性 (Succinct)：证明的大小非常小（通常是几百字节），与被证明的计算量无关或只呈对数增长。验证时间也非常快，通常是毫秒级。这是SNARKs 最引人注目的特性，使得大规模计算的验证变得可行。
• 非交互性 (Non-Interactive)：证明者生成一个证明，验证者独立验证，只需单次通信。
• 论证 (Argument)：这意味着其可靠性是计算可靠性，依赖于密码学假设（如椭圆曲线上的离散对数问题、配对密码学等）的计算难度。如果这些假设被破解，证明可能被伪造。与“证明 (Proof)”不同，“证明 (Proof)”通常指具备完美可靠性的系统。
• 知识 (Knowledge)：如前所述，意味着如果证明者能生成有效证明，他就一定知道证人。

SNARKs 的出现，使得我们不仅可以在不泄露隐私的前提下证明某事，还可以高效地证明一个极其复杂的计算或程序的正确执行，而验证者只需要做极少的工作。这在云计算、区块链扩容和隐私保护中具有巨大潜力。

SNARKs 的工作原理：核心技术栈

SNARKs 是一项极其复杂的密码学技术，它结合了多个高级数学和密码学概念。其核心工作流程可以概括为以下几个步骤：

1. 问题算术化 (Arithmetization): R1CS 与 QAP

这是将任意通用计算问题（如执行一段代码）转化为适合SNARKs处理的代数形式的第一步。

• R1CS (Rank-1 Constraint System)：
  任何计算，无论多么复杂，都可以被分解成一系列简单的三元组乘法和加法运算。R1CS 是一种将这些运算表示为向量点积约束的方法。
  一个R1CS问题由一个公共输入 $x$ 和一个私有证人 $w$ 组成。证明者需要证明存在一个赋值向量 $s = (1, x_1, ..., x_k, w_1, ..., w_m, \text{中间变量}_1, ...)$，使得 $ (A \cdot s) \odot (B \cdot s) = C \cdot s $ 成立。
  其中，$A, B, C$ 是由算术电路导出的矩阵（包含0和1），$s$ 是包含输入、输出、私有证人和所有中间变量的向量， $ \odot $ 表示逐元素乘法 (Hadamard product)。

  示例：将算术表达式 $x^2 + y = out$ 转换为 R1CS
  我们引入中间变量：

  1. $sym\_1 = x \cdot x$
  2. $sym\_2 = sym\_1 + y$
  3. $out = sym\_2$

  现在我们可以构建矩阵 $A, B, C$ 和向量 $s$。
  令 $s = [1, x, y, out, sym\_1, sym\_2]$ (注意1是常数，x, y是输入，out是输出，sym_1, sym_2是内部信号)。

  对于 $sym\_1 = x \cdot x$:
  $(A_1 \cdot s) \odot (B_1 \cdot s) = (C_1 \cdot s)$
  $([0, 1, 0, 0, 0, 0] \cdot s) \odot ([0, 1, 0, 0, 0, 0] \cdot s) = ([0, 0, 0, 0, 1, 0] \cdot s)$
  $ (x) \odot (x) = (sym_1) $

  对于 $sym\_2 = sym\_1 + y$:
  $(A_2 \cdot s) \odot (B_2 \cdot s) = (C_2 \cdot s)$
  $([0, 0, 0, 0, 1, 0] \cdot s) \odot ([1, 0, 0, 0, 0, 0] \cdot s) = ([0, 0, 1, 0, 0, -1] \cdot s)$ (这里等式可以写成 $sym\_1 + y - sym\_2 = 0$，再转换)
  或者更直观地: $ (sym_1 + y) \odot (1) = (sym_2) $$([0, 0, 1, 0, 1, 0] \cdot s) \odot ([1, 0, 0, 0, 0, 0] \cdot s) = ([0, 0, 0, 0, 0, 1] \cdot s)$$ (sym_1 + y) \odot (1) = (sym_2) $

  对于 $out = sym\_2$:
  $([0, 0, 0, 0, 0, 1] \cdot s) \odot ([1, 0, 0, 0, 0, 0] \cdot s) = ([0, 0, 0, 1, 0, 0] \cdot s)$
  $ (sym_2) \odot (1) = (out) $

  最终，我们将所有 $A_i, B_i, C_i$ 堆叠起来形成最终的 $A, B, C$ 矩阵。

• QAP (Quadratic Arithmetic Programs)：
  R1CS 约束系统可以进一步转换为多项式等价问题。其核心思想是，如果一个多项式在所有R1CS约束对应的点上都为零，那么它在这些点上就是正确的。具体来说，R1CS 的每个约束 $(A_k \cdot s) \odot (B_k \cdot s) = C_k \cdot s$ 都对应一个点 $t_k$。我们构造三个多项式 $A(x), B(x), C(x)$，使得在每个 $t_k$ 处，$A(t_k) = A_k \cdot s$, $B(t_k) = B_k \cdot s$, $C(t_k) = C_k \cdot s$。
  那么，原始的 R1CS 问题就变成了找到一个 $s$ 向量，使得多项式 $ P(x) = A(x) \cdot B(x) - C(x) $ 在所有 $t_k$ 处都为零。这意味着 $ P(x) $ 可以被一个“零多项式” $ Z(x) = \prod_{k}(x - t_k) $ 整除。
  即 $A(x) \cdot B(x) - C(x) = H(x) \cdot Z(x)$，其中 $H(x)$ 是另一个多项式。

  证明者需要证明他知道一个 $s$ 向量，使得这个多项式等式成立。

2. 多项式承诺 (Polynomial Commitments)

多项式承诺方案允许证明者“承诺”一个多项式，而不揭示其系数。之后，证明者可以证明这个多项式在某个特定点的值，而无需揭示整个多项式。这类似于哈希承诺，但针对的是多项式评估点。

• KZG 承诺 (Kate-Zaverucha-Goldberg Commitment)：
  KZG 承诺是一种基于配对 (pairing) 的高效多项式承诺方案。
  承诺 (Commit)：证明者选择一个秘密随机点 $s \in \mathbb{F}_p$（这个点是公共参数的一部分，但在生成时必须被销毁，这是“信任设置”的来源），然后计算 $C = g^{P(s)}$ 作为对多项式 $P(x)$ 的承诺。这里的 $g$ 是椭圆曲线上的一个生成元。
  求值证明 (Open/Proof of Evaluation)：要证明 $P(z) = y$，证明者需要构建一个“商多项式” $Q(x) = (P(x) - y) / (x - z)$。如果 $P(z)=y$ 成立，那么 $Q(x)$ 将是一个多项式。证明者提供 $w = g^{Q(s)}$ 作为证明。
  验证 (Verify)：验证者使用配对函数检查 $e(C/g^y, g^{z}) = e(w, g^s)$ 是否成立。
  这里的 $e(A, B)$ 是一个双线性配对函数，满足 $e(g^a, g^b) = e(g,g)^{ab}$。
  通过配对的性质，验证者可以高效地检查 $(P(s) - y) = Q(s) \cdot (s - z)$ 这个等式在指数域上是否成立，而无需知道 $P(s)$ 的实际值或 $s$。

• IPA (Inner Product Argument)：
  另一种多项式承诺方案，不需要信任设置，基于离散对数问题。但生成的证明通常比 KZG 大（对数级）。

3. 配对友好曲线与双线性映射 (Pairing-Friendly Curves & Bilinear Maps)

配对是SNARKs（尤其是基于Groth16和Plonk的系统）的核心数学工具。它们是定义在椭圆曲线上的特殊双线性映射 $e: \mathbb{G}_1 \times \mathbb{G}_2 \to \mathbb{G}_T$，其中 $ \mathbb{G}_1, \mathbb{G}_2, \mathbb{G}_T $ 是循环群，且满足：

• 双线性性： $e(aP, bQ) = e(P, Q)^{ab}$，其中 $a,b$ 是标量，$P \in \mathbb{G}_1, Q \in \mathbb{G}_2$。
• 非退化性：存在 $P, Q$ 使得 $e(P, Q) \neq 1$。
• 可计算性：存在高效的算法来计算 $e(P, Q)$。

这些性质使得我们可以在群的指数上执行乘法运算，这对于验证 QAP 多项式等式 $A(x) \cdot B(x) - C(x) = H(x) \cdot Z(x)$ 在某个随机点 $s$ 上的成立至关重要。

SNARKs 的几种主流结构

目前，SNARKs 有多种不同的具体构造方式，它们在性能、信任设置、通用性等方面有所权衡：

• Groth16
  目前最常用且最成熟的SNARK结构之一。

  • 优点：证明大小极小（通常只有3个椭圆曲线点，约192字节），验证时间极快（几毫秒）。
  • 缺点：需要“电路特定”的信任设置。这意味着每次要证明不同的程序，都需要重新进行一次信任设置。
  • 应用：Zcash 等。

• Plonk
  在Groth16之后出现，解决了Groth16的部分局限性。

  • 优点：支持“通用信任设置 (Universal Trusted Setup)”。只需一次信任设置，就可以用于任意数量的电路。支持“Custom Gates”，提高了表达能力和效率。
  • 缺点：证明大小和验证时间通常比Groth16稍大和稍慢，但仍在可接受范围内。
  • 应用：以太坊的ZK-Rollups，如Polygon zkEVM, Scroll。

• Marlin / Sonic / F-1 / Plookup 等
  这些是 Plonk 之后或并行发展的一些SNARK结构，旨在进一步优化通用性、证明大小或验证速度。它们通常引入了更复杂的多项式承诺方案或改进了算术化方法。

• Halo2
  由 Zcash 团队开发，一个重要特点是它不需要信任设置。它通过引入“递归证明 (Recursive Proofs)”的概念来消除对信任设置的需求。

  • 优点：无信任设置，支持递归证明聚合。
  • 缺点：证明大小和生成时间通常比Groth16和Plonk更大更长。

信任设置 (Trusted Setup)：公钥基础设施的关键

SNARKs（如Groth16和Plonk）的显著特点是其高效性，但这通常以一个“信任设置 (Trusted Setup)”阶段为代价。
信任设置生成一组公开参数（类似于公钥基础设施中的公钥），这些参数是证明和验证过程所必需的。然而，在生成这些参数的过程中，会产生一个“有毒废料 (Toxic Waste)”（通常是一个秘密随机数）。如果这个秘密数被保存下来，恶意证明者就可以利用它伪造任何声明的证明，从而破坏系统的可靠性。

为了解决这个问题，通常会采用多方计算 (Multi-Party Computation, MPC) 仪式：

• 多方（例如数十甚至数百个独立参与者）共同参与参数生成过程。
• 每个参与者贡献一部分随机性，并处理前一个参与者的输出。
• 只要有一个参与者是诚实且成功地销毁了他自己的那部分秘密，那么整个仪式的“毒性废料”就被销毁了。
  这个过程通常非常复杂和耗时，但它只需要进行一次（对于通用信任设置）。

尽管“信任设置”听起来有些矛盾，但在实践中，它通常被设计成通过确保足够多的参与者来保证安全性，并且许多知名项目的 MPC 仪式都有很高的透明度和参与度。

可扩展透明知识论证 (STARKs)：无信任设置的未来

虽然SNARKs带来了巨大的效率提升，但其对信任设置的依赖（至少对 Groth16 和 Plonk 而言）和对复杂数学假设的依赖，促使了另一类证明系统的发展：STARKs。

STARKs 的优势

• 透明性 (Transparency)：STARKs 的最大特点是无需信任设置。它们的公开参数是完全公开且随机可验证的，任何人都可以在不信任任何第三方的情况下生成这些参数。这消除了与信任设置相关的任何潜在风险或争议。
• 可扩展性 (Scalability)：虽然名字里有“Scalable”，但其证明大小通常比 SNARKs 大（通常是几十到几百KB），验证时间也更长（几十到几百毫秒）。但与计算复杂度的关系是对数级的，意味着随着计算规模的增大，证明大小和验证时间增长缓慢。
• 抗量子性 (Post-Quantum Resistance)：STARKs 基于哈希函数和 Reed-Solomon 编码，这些数学原语被认为是抗量子的，因此 STARKs 在量子时代具有更高的安全性。

STARKs 由 Eli Ben-Sasson 及其团队在 2017 年首次提出，解决了 SNARKs 的一些关键痛点，尤其是在去中心化和长期安全性方面。

STARKs 的核心技术：AIR 与 FRI

STARKs 的底层技术与 SNARKs 大相径庭：

• AIR (Algebraic Intermediate Representation)：
  与SNARKs的 R1CS/QAP 不同，STARKs 使用 AIR 来将计算转化为代数约束。AIR 将计算表示为状态转换，并使用一系列多项式等式来描述这些转换。这些多项式等式在特定的“执行轨迹”上必须成立。例如，在斐波那契数列中，$F_i = F_{i-1} + F_{i-2}$ 可以表示为一个约束，这个约束必须在每一步的轨迹上都成立。

• FRI (Fast Reed-Solomon Interactive Oracle Proofs of Proximity)：
  FRI 是 STARKs 的核心组件，它是一个证明一个多项式是“低度”的协议。简单来说，它证明一个给定多项式（被承诺在Merkle树中）的度数低于某个阈值。
  FRI 协议是一个交互式证明，但可以通过 Fiat-Shamir 启发式转换为非交互式。它通过对多项式进行一系列随机采样、求和、插值和哈希承诺（使用 Merkle 树）的迭代过程，逐步降低多项式的度数，最终将其归结为一个可以直接验证的常数。

  • Reed-Solomon Codes：一种纠错码，用于在有限域上构建具有纠错能力的多项式。
  • Merkle Trees：用于对多项式评估点进行承诺，并高效地提供特定点的“开放证明”。

STARKs 的工作流程

1. 算术化：将待证明的计算（如一段程序）转换为一系列 AIR 约束。
2. 轨迹生成：证明者计算出所有中间变量和状态转换，形成一个“执行轨迹”。
3. 多项式插值：将执行轨迹插值成一系列多项式。
4. FRI 协议：证明者和验证者（通过 Fiat-Shamir 转换）执行 FRI 协议，证明这些多项式是低度的，并且满足 AIR 约束。
5. Merkle 承诺：所有的多项式评估点都被哈希并组织成 Merkle 树，其根哈希作为证明的一部分。验证者只需要检查 Merkle 根和几个 Merkle 路径。

SNARKs vs. STARKs：选择的艺术

SNARKs 和 STARKs 各有优劣，选择哪种技术取决于具体的应用场景和需求。

特性	SNARKs	STARKs
信任设置	通常需要（Groth16, Plonk），少数例外（Halo2）	无需信任设置（透明）
抗量子性	通常不抗量子（基于椭圆曲线和配对）	抗量子（基于哈希函数和 Reed-Solomon 码）
证明大小	极小（几百字节，常数级）	较大（几十到几百 KB，与计算量呈对数级）
验证时间	极快（几毫秒）	较快（几十到几百毫秒）
证明生成时间	较快（但仍比直接计算慢很多）	通常比 SNARKs 慢（需要复杂的FFT和多项式操作）
底层数学	椭圆曲线、配对、多项式承诺 (KZG)	有限域、哈希函数、Reed-Solomon 码、FRI、AIR
成熟度	较为成熟，应用广泛	相对较新，生态系统正在快速发展

简而言之，如果你追求极致的链上（或存储/传输）效率，且可以接受信任设置，那么 SNARKs 可能是更好的选择。如果你优先考虑去中心化、透明性和长期抗量子安全性，即使牺牲一些证明大小和验证时间，STARKs 也是理想的方案。

其他重要的证明系统与技术

除了 SNARKs 和 STARKs，还有一些其他值得关注的证明系统和相关技术：

Bulletproofs

Bulletproofs 是一个具有对数级证明大小的零知识证明系统，其主要优势是无需信任设置。

• 优点：无需信任设置，证明大小与证人数量呈对数关系。
• 缺点：证明大小比 SNARKs 大，验证时间也更长。
• 应用：Monero 隐私交易。它特别适合于具有大量范围证明（证明一个数字在特定范围内）的应用。

递归证明 (Recursive Proofs)

递归证明是一种强大的技术，允许一个证明系统验证另一个证明。这意味着你可以生成一个证明，证明“我生成了一个证明，并且那个证明是有效的”。

• 优点：
  • 证明聚合：可以将多个独立的证明聚合成一个单一的、简洁的证明。
  • 链上验证开销降低：在区块链上，可以定期将大量交易的证明聚合成一个大证明，然后只将最终的大证明提交到链上，大大降低存储和验证成本。
  • 无限扩展：理论上可以验证任意长时间运行的计算，而证明大小保持不变。
• 实现：Halo2 是一个著名的使用递归证明的系统。

聚合证明 (Proof Aggregation)

聚合证明允许将多个独立的证明合并成一个单一的、更简洁的证明。这与递归证明类似，但通常更侧重于将“同类型”的多个证明批量处理成一个。例如，你可以将1000个零知识交易证明聚合成一个证明，大大节省存储空间和验证资源。

证明系统在密码学中的应用：解锁新范式

证明系统，特别是零知识证明及其简洁版本，正在从理论走向实践，并在多个关键领域带来范式级的变革。

区块链扩容与隐私

这是零知识证明最受关注的应用领域。

• ZK-Rollups：区块链的 Layer 2 扩容方案。数千笔交易可以在链下打包处理，然后生成一个零知识证明，证明这些交易的有效性，并将这个简洁的证明提交到 Layer 1。Layer 1 只需要验证这个证明即可确认所有打包交易的有效性，而无需重新执行它们。这极大地提高了区块链的吞吐量，同时继承了 Layer 1 的安全性。代表项目包括 zkSync, StarkNet, Polygon zkEVM, Scroll 等。
• Validiums / Volitions：与 ZK-Rollups 类似，但数据可用性有所不同，提供不同的安全性和去中心化权衡。
• 隐私保护：
  • Zcash：第一个也是最著名的使用零知识证明（最初是zk-SNARKs，后来是Halo2）实现链上隐私交易的加密货币。用户可以发送和接收加密货币，同时隐藏交易的发送方、接收方和金额。
  • Tornado Cash (已受制裁)：一个混币协议，允许用户通过零知识证明证明自己存款的合法性，从而在提款时切断与原始地址的关联，增强交易隐私。

去中心化身份与凭证

零知识证明使得“选择性披露 (Selective Disclosure)”成为可能。
例如，你可以向服务提供商证明你的年龄超过18岁，而无需透露你的确切出生日期。或者证明你拥有大学学位，而无需展示你的成绩单。这为构建更隐私、更安全的去中心化身份系统提供了基础。

可验证计算与外包

当你将计算任务外包给云计算服务提供商时，你如何确信他们返回的结果是正确的，而无需你自己重新运行整个计算？零知识证明可以提供可验证计算 (Verifiable Computation)。证明者（云服务商）可以生成一个计算结果的零知识证明，验证者（用户）只需验证这个简洁的证明即可确信结果的正确性，大大节省了计算资源。

机器学习与隐私保护

• 私有模型推理：用户可以在不向AI模型提供明文输入的情况下，获得推理结果。同时，服务提供商可以在不向用户泄露模型参数的情况下，证明推理结果的正确性。
• 可验证模型训练：证明者可以证明一个AI模型是按照特定数据和算法训练出来的，并且满足某些合规性要求，而无需泄露训练数据或模型本身。

更广泛的应用前景

• 安全多方计算 (MPC)：在 MPC 协议中，零知识证明可以用来确保各方诚实地执行协议步骤，而无需泄露各自的私有输入。
• 投票系统：确保投票的匿名性和计票的正确性。
• 审计与合规：证明某些数据满足合规标准，而无需披露敏感商业信息。

挑战与未来展望

尽管证明系统已经取得了令人瞩目的成就，但它们仍处于快速发展阶段，面临着一些挑战：

• 性能瓶颈：证明生成时间
  虽然证明验证时间已经非常快，但生成复杂计算的证明仍然是一个计算密集型任务，通常需要大量时间、内存和计算资源。优化证明生成器的效率是当前研究的热点。

• 开发难度与生态系统
  构建基于零知识证明的应用需要深入的密码学和数学知识。目前存在一些高级语言（如 Cairo, Leo, Circom）和框架来简化电路编写，但与传统编程相比，学习曲线仍然陡峭，开发工具和调试环境仍需完善。

• 标准化与互操作性
  不同证明系统和库之间缺乏统一标准，导致互操作性差。未来需要行业共同努力，推动标准制定，以促进更广泛的采用。

• 量子计算威胁
  大多数基于椭圆曲线和配对的 SNARKs（如 Groth16, Plonk）对未来的量子计算机是不安全的。虽然目前量子计算机尚不构成威胁，但研究抗量子证明系统（如 STARKs 和后量子密码学证明系统）至关重要。

• 研究前沿：新的原语和结构
  研究人员仍在不断探索新的证明系统结构、更高效的算术化技术、更小的证明和更快的验证。例如，Cycle of Elliptic Curves 允许构建更高效的递归证明。

展望未来，证明系统将继续在数字信任领域扮演越来越重要的角色。随着技术的成熟和工具链的完善，我们将看到它们在构建更私密、更高效、更可信的数字基础设施方面发挥更大作用。从简单的秘密验证到大规模计算的去信任化，证明系统正在解锁一个全新的计算范式，让信任不再是假设，而是数学上的必然。

结语

从最早的交互式零知识概念，到利用 Fiat-Shamir 启发式实现的非交互式证明，再到 SNARKs 带来的极致简洁和 STARKs 提供的透明与抗量子特性，密码学中的证明系统经历了一次又一次的飞跃。它们不仅仅是抽象的数学概念，更是构建下一代隐私计算、区块链扩容和去中心化应用的关键基石。

作为技术爱好者，深入理解这些证明系统的原理，无疑是一次充满挑战但回报丰厚的旅程。它们背后的数学之美，以及它们在解决现实世界问题中的巨大潜力，都令人心潮澎湃。我们正站在一个技术变革的临界点，证明系统无疑是其中最耀眼的星辰之一。

希望这篇文章能帮助你对密码学中的证明系统建立起一个全面而深入的理解。如果你有任何疑问或想进一步探讨某个话题，欢迎在评论区留言！

我是 qmwneb946，下次再见！